JZOJ1749. 城市交通 (2017.8B组)
来源:互联网 发布:视频特效编辑软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/16 00:21
Description
编号为1~n的n个城市,每个城市有两个权值Ai和Bi。
对于两个城市i和j,i可到j当且仅当j>i,而费用为(j-i)*Ai+Bj。
求从城市1到城市n的最小费用。
Input
第一行一个正整数n。
第二行n个正整数,第i个表示Ai。
第三行n个正整数,第i个表示Bi。
Output
一个数,表示最小的费用。
Sample Input
4
2 9 5 4
9 1 2 2
Sample Output
8
Data Constraint
Hint
【数据规模】
对于20%的数据,1<=n<=100;
对于50%的数据,1<=n<=3000;
对于100%的数据,1<=n<=100000,1<=Ai,Bi<=10^9。
想法:
DP+斜率优化
f[i]=min(f[j]+b[j]+(j-i)*a[i])(i《j)
答案f[1]
转化以下,f[i]=min(f[j]+b[j]+j*a[i])-i*a[i]
有个j*a[i]
考虑i《j《k,对于i这个点来说,选j一定比选k优
则有f[j]+b[j]+j*a[i]《f[k]+b[k]+k*a[i]
把与i有关的项移到一边,其他另一边
(j-k)*a[i]《f[k]+b[k]-f[j]-b[j]
(k-j)*(-a[i])《f[k]+b[k]-f[j]-b[j]
-a[i]《(f[k]+b[k]-f[j]-b[j])/(k-j)
设g[j]表示f[j]+b[j]
那么-a[i]《(g[k]-g[j])/(k-j)
然后就是传说中的斜率优化了
这题有点特别,队列队首是n,队列越后点越小
如果d[r-1]到第d[r]的斜率(g[d[r-1]]-g[d[r]])/(d[r-1]-d[r])比d[r]到i的斜率要小,为了满足单调性,把d[r]去掉
如何更新f[i]?
二分出一个点使得他与队列前一个点的斜率大于-a[i],与前面一个点小于-a[i],那么这个点就是更新i的最优点
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