【拓展欧几里得】方程的解

【题目描述】
给出一个二元一次方程 ax+by=c,其中 x、y 是未知数,求它的正整数解的
数量。
【输入格式】
第一行一个整数 T,表示有 T 组数据。接下来 T 行,每行 3 个整数 a、b、c。
【输出格式】
输出 T 行,每行一个数,表示方程解的数量。如果正整数解的数量比
65535 还多,输出“ZenMeZheMeDuo”。
【样例输入】
3
-1 -1 -3
1 1 65536
1 1 65537
【样例输出】
2
65535
ZenMeZheMeDuo
【数据规模与约定】
20%的数据,a=b=1
40%的数据,T≤100,1≤a,b,c≤1000
另 20%的数据,a+b=c,1≤a,b,c≤1,000,000
另 20%的数据,1≤a,b,c≤1,000,000
100%的数据,T≤10000,-1,000,000≤a,b,c≤1,000,000

【题解】
核心为拓展欧几里得：
1、若a或b等于0看不为零的是否整除c　若c为0看a,b是否异号；　
2、若两者为负就转化为一者为负；
3、若a,b异号，假设a<0,b>0则循环x至多b次；
4、若a,b同号但不与c同号，则方程无解　由此若a,b,c均为负就可以全部化为正；
　　以上为特殊情况，答案只可能是0或者无穷多。以下情况中，a,b,c均为正数。
5、枚举x，从1开始，满足c-ax>=0,寻找某一时刻(c-ax)%b==0,则找到了方程的一组解；
6、这一组解一定是x最小y最大的那组解，对于相邻的每两组解，y都减去了a和b的最小公倍数除以b，观察y能够减去多少个这个数；
再注意特判，注意处理负数情况即可。

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<vector>#define ll long long#define re register#define il inline#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)using namespace std;il int gi(){    re int x=0;  re short int t=1;  re char ch=getchar();  while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();  if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();  return x*t;}void exgcd(int a,int b,int c,long long &x,long long &y,int &d)//拓展欧几里得算法模板{    if(!b) y=0,d=a,x=c/a;    else  exgcd(b,a%b,c,y,x,d),y-=(a/b)*x;}void f(){    int a,b,c,d;    ll x,y;    a=gi();b=gi();c=gi();    if(!a && !b)//特判a、b都等于0的情况    {        if(!c)            printf("ZenMeZheMeDuo\n");        else            printf("0\n");        return;    }    if(c<0) a=-a,b=-b,c=-c;    bool fana=0;    if(a<0) a=-a,fana=1;    bool fanb=0;    if(b<0) b=-b,fanb=1;//处理掉负数,有负数会WA    exgcd(a,b,c,x,y,d);//弄组解出来    if(a*x+b*y!=c)//一组解都没有就gg了    {        printf("0\n");        return;    }    if(fana) x=-x,a=-a;    if(fanb) y=-y,b=-b;//把负数弄回来    if(a==0)    {        if(y<=0) printf("0\n");        else printf("ZenMeZheMeDuo\n");        return;    }    if(b==0)    {        if(x<=0) printf("0\n");        else printf("ZenMeZheMeDuo\n");        return;    }    if(a<0 && b>0 || a>0 && b<0)    {        printf("ZenMeZheMeDuo\n");        return;    }//特判很重要    if(a<0) a=-a,b=-b,c=-c;    a/=d;b/=d;c/=d;//d是最大公约数    x%=b;    if(x<=0) x+=b;    if(x==0) x+=b;//保证模出的是正数    y=(c-a*x)/b;    ll miny=y%a;//求出y的最小值    if(miny<0) miny+=a;    if(miny==0) miny+=a;    int res;    if(miny>y) res=0;    else res=(y-miny)/a+1;//求出解的个数    if(res>65535) printf("ZenMeZheMeDuo\n");    else printf("%d\n",res);}int main(){    freopen("fuction.in","r",stdin);    freopen("fuction.out","w",stdout);    int T;    T=gi();    while(T--)        f();    fclose(stdin);    fclose(stdout);    return 0;}

顺便再记一下爆搜+剪枝的方法，虽然慢，但不容易打错。。。

#include<cstdio>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;ll T,a,b,c,neg;ll gcd(ll x,ll y){    if (y==0) return x;    return gcd(y,x%y);}ll gi(){    ll x=0,w=1;char ch=getchar();    while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();    if (ch=='-') w=-1,ch=getchar();    while (ch>='0'&&ch<='9')    {        x=x*10+ch-'0';        ch=getchar();    }    return x*w;} int main(){    //freopen("fuction.in","r",stdin);    //freopen("fuction.out","w",stdout);    T=gi();    while (T--)    {        a=gi();b=gi();c=gi();neg=0;        if (a==0&&b==0&&c==0)        {            printf("ZenMeZheMeDuo\n");            continue;        }        if (c==0)        {            if (a==0||b==0) printf("0\n");            else if ((a<0&&b>0)||(a>0&&b<0)) printf("ZenMeZheMeDuo\n");            else printf("0\n");            continue;        }        if (a==0||b==0)        {            if (a==0&&b==0) printf("0\n");            else            {                ll t=(a==0)?b:a;                if ((t>0&&c<0)||(t<0&&c>0)) printf("0\n");                else                {                    if (t<0) t=-t,c=-c;                    if (c%t==0) printf("ZenMeZheMeDuo\n");                    else printf("0\n");                }            }            continue;        }        if (a<0) neg++;        if (b<0) neg++;        if (c<0) neg++;        if (a>0&&b>0&&c>0&&a+b==c)        {            printf("1\n");            continue;        }        if (neg>=2) a=-a,b=-b,c=-c,neg=3-neg;        if (neg==1)        {            if (c<0)            {                printf("0\n");                continue;            }            if (a<0||b<0)            {                if (b<0) swap(a,b);                bool key=0;                for (ll x=1;x<=b;x++)                    if ((c-a*x)%b==0)                    {                        key=1;break;                    }                if (key==1) printf("ZenMeZheMeDuo\n");                else printf("0\n");                continue;            }        }        if (neg==0)        {            ll X,Y;            for (X=1;c-a*X>0;X++)                if ((c-a*X)%b==0) break;            if (c-a*X<=0) printf("0\n");            else            {                Y=(c-a*X)/b;                ll num=a/gcd(a,b);                ll ans=Y/num+1;                if (Y%num==0) ans--;                if (ans>65535) printf("ZenMeZheMeDuo\n");                else printf("%lld\n",ans);            }        }    }    return 0;}