LuoguP1082[NOIP2012] 同余方程 解题报告【拓展欧几里得】

题目描述
求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
输入输出格式
输入格式：
输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。
输出格式：
输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入输出样例
输入样例#1：
3 10
输出样例#1：
7
说明
【数据范围】
对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；
对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；
对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。
NOIP 2012 提高组 第二天 第一题
解题报告
题目给我们的方程：ax≡1(modb)，我们可以推出：
ax+pb=1+qb
移项得：ax+(p−q)b=1
令：y=p−q
得：ax+yb=1
那么就可以用拓展欧几里得求解
我们知道对于ax+by=c，gcd(a,b)=c 时一定有解。由题意得一定有解，那么gcd(a,b)=1。
接下来按照拓展欧几里得的套路就好了：
令：ax1+by1=gcd(a,b)
令：gcd(b,amodb)=bx2+(amodb)y2
则有：ax1+by1=bx2+(amodb)∗y2
ax1+by1=bx2+(a−a/b∗b)y2
ax1+by1=ay2+b∗(x2−a/b∗y2)
可得：x1=y2,y1=x2−a/b∗y2
这样一来就好办了：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;long long a,b,x,y;void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){    if(b==0)x=1,y=0;    else{exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;}}int main(){    scanf("%lld%lld",&a,&b);    exgcd(a,b,x,y);    printf("%lld",(x+b)%b);    return 0;}