挑战程序竞赛系列（33）：POJ 2991 Crane*

详细代码可以fork下Github上leetcode项目，不定期更新。

练习题如下：

• POJ 2991: Crane

POJ 2991: Crane

一道线段树题，在《挑战》中刷到了，就和之前理解的线段树拿来对比下，关于线段树可以参看【算法细节系列（28）：线段树】。

先来分析下题目，对于每个线段的更新，我们的目的在于记录终点的位置，此题的一个trick在于能否想到更新中的相对不变量【向量】，何以理解？

首先，旋转位置s，那么必然终点的位置会发生变化，所带来的结果是s后续的每个顶点都会发生相对变化，而s之间的顶点则没有改变。这种更新模式就特别符合线段树的性质了，因为线段树的提出就是基于对更新的优化，使得它在O(logn)的时间复杂度内完成。当然最幼稚的做法是，从s->终点，每旋转一次更新后续所有坐标。

这种模拟的做法必然会超时。那么问题来了，如何让这些更新规则去符合线段树的构造规则呢？

就拿上述方案来说，如果每个顶点维护一个坐标变量，那么就无法用区间来表示，因为每个顶点相互独立，它们的信息无法共享，所以区间合并所带来的问题是并不知道选谁作为该区间的代表。理论上来说，是终点坐标，可是却无法从几个孩子结点得到终点坐标的信息，得换换思路了。

向量，每个区间[l,r]维护一个起点指向终点r的向量，这和题目有关，因为我们只需要维护终点信息，而无需关注其它顶点的位置，那么我们就把问题抽象成了区间，每个区间维护一个向量，由此，区间与区间就能根据向量来合并了，合并规则为：当前向量加上右区间向量和所需旋转的角度。

这样一来，根结点必然永远都是从起点指向终点的向量，也就是答案x和y。

具体更新规则为：

x′=xchl+(cos(α)⋅xchr−sin(α)⋅ychr)

y′=ychl+(sin(α)⋅xchr+cos(α)⋅ychr)

代码如下：

import java.util.Scanner;public class Main{    static class SegementTree{        int size;        double[] vx;        double[] vy;        double[] angle;        public SegementTree(int n){            this.size = (1 << n) - 1;            vx = new double[size];            vy = new double[size];            angle = new double[size];        }        public void init(int s, int l, int r){ //对应的区间为[l,r)            angle[s] = vx[s] = 0;            //叶子结点 和非叶子结点            if (r - l == 1){                vy[s] = len[l]; //表示区间叶子结点与下一段的向量             }            else{                int chl = s * 2 + 1;                int chr = s * 2 + 2;                init(chl, l, (l + r) / 2); //天然的划分所有区间                init(chr, (l + r) / 2, r);                vy[s] = vy[chl] + vy[chr]; //对于非叶子结点，vy表示合并后，终点向量距离原点的（x,y）            }        }        //从s开始，更新与s+1的角度，逆时针旋转角度a，当前线段树的结点为v，对应的区间为l和r        //由题意得，线段树中的每个左区间的向量需要变换，但右区间作为整体不需要做任何计算。        public void change(int s, double a, int v, int l, int r){            if (s <= l) return; // 如果需要旋转的s,对应当前的区间为右孩子，则不需要更新，因为它们隶属于一个整体            else if (s < r){                int chl = v * 2 + 1, chr = v * 2 + 2;                int m = (l + r) / 2;                //分治求解                change(s, a, chl, l, m);                change(s, a, chr, m, r);                //区间合并                if (s <= m) angle[v] += a; // 右儿子需要转动的角度,如果s 在右侧，则只需要更新当前状态ang[v]                double sin = Math.sin(angle[v]);                double cos = Math.cos(angle[v]);                vx[v] = vx[chl] + (cos * vx[chr] - sin * vy[chr]);                vy[v] = vy[chl] + (sin * vx[chr] + cos * vy[chr]);            }        }    }    static int[] len;    static double[] prv;    public static void main(String[] args) {        Scanner in = new Scanner(System.in);        while (in.hasNext()){            int n = in.nextInt();            int c = in.nextInt();            len = new int[n];            prv = new double[n];            for (int i = 0; i < n; ++i){                len[i] = in.nextInt();                prv[i] = Math.PI;            }            SegementTree tree = new SegementTree(15);            tree.init(0, 0, n);            for (int i = 0; i < c; ++i){                int s = in.nextInt();                int A = in.nextInt();                double a = A / 360.0 * 2 * Math.PI;                tree.change(s, a - prv[s], 0, 0, n);                prv[s] = a;                System.out.println(String.format("%.2f %.2f", tree.vx[0], tree.vy[0]));            }        }        in.close();    }}