最长递增子序列

给出长度为N的数组，找出这个数组的最长递增子序列的长度。
(递增子序列是指，子序列的元素是递增的）

例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最长递增子序列是1 2 4 5 10。

1.定义状态:
dp[i]表示以a[i]为结尾的最长递增子序列的长度。

i= 1时，{5} dp[1] = 1
i= 2时, {1} dp[2] = 1
i= 3时，{6},{5,6} {1,6} dp[3] = 2
i= 4时，{8},{6,8},{1,8},{5,8},{5,6,8},{1,6,8} dp[4]= 3
i= 5时 ………

2.状态转移:
dp[i]=max{dp[i],dp[j]+1} (j < i && a[j] < a[i])

ans = max{dp[i]}

方法一：(复杂度o(n^2))

for(int i=1; i<=n; i++){  dp[1]=1;  j=i-1;  while(j)  {    if(a[i]>a[j])        dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);      j--;  }  ans=max(ans,dp[i]);}

例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最长递增子序列是1 2 4 5 10。
|
0 f1 f2 f3 f4 f5 f6
1 5
2 1
3 1 6
4 1 6 8
5 1 2 8
6 1 2 4
7 1 2 4 5
8 1 2 4 510

1.定义状态:
f[j]表示长度为j的最长递增子序列最后一项的最小值

当处理到第i位时，a[i]可以做满足a[i]>f[j]的长度为j+1的递增子序列的最后一项
如果，a[i]>f[j], f[j+1]=min(f[j+1],a[i]);
由于f[1]

f[1]=a[1];int left,right,len=1,mid;for(int i=2; i<=n; i++){   left=0,right=len;   while(left<right)   {     mid=(left+right)/2;     if(f[mid]<a[i])        left=mid+1;     else        right=mid;   }   f[left]=a[i];    if(left>=len)      len++;  }

例题

最长递增子序列

给出长度为N的数组，找出这个数组的最长递增子序列。(递增子序列是指，子序列的元素是递增的）
例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最长递增子序列是1 2 4 5 10。
Input
第1行：1个数N，N为序列的长度(2 <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：每行1个数，对应序列的元素(-10^9 <= Si<= 10^9)
Output
输出最长递增子序列的长度。
Sample Input
8
5
1
6
8
2
4
5
10
Sample Output
5

#include<iostream>using namespace std;#define INF 0X3f3f3f3fint main(){    int n;    long long a[50001];    cin>>n;    for(int i=0; i<n; i++)        cin>>a[i];    long long f[50001];    int left,right,len=1,mid;    f[0]=a[0];     for(int i = 1; i < n; i++)    {        left = 0;        right = len;        while(left < right)        {            mid = (left + right) / 2;            if(f[mid] < a[i]) left = mid + 1;            else right = mid;        }        f[left] = a[i];        if(left >= len) len++;    }    cout<<len<<endl;    return 0;}