1227. Coprime

题目描述

对于两个整数k 和m，如果k 和m 的最大公约数为1，则k 和m 互质。给出两个正整
数n 和m(m≤n),定义f(n,m)为1~n！中与m！互质的数的个数。其中n！=1*2*3*..*(n-1)*n。
Task：给定n 和m，要求计算f(n,m)。

题目分析

这一道题我们立刻就可以想到欧拉函数
设f(n)为1~n有多少个数和n是互质数，则

f(n)=n∗p1−1p1∗p2−1p2∗……∗pm−1pm

其中集合p为n的质因数（不算重）
这里也是如此。

ans(n)(m)=n!∗p1−1p1∗p2−1p2∗……∗pm−1pm

其中集合p为m!的质因数
我们稍微思考一下就可以发现，m!的质因数就是1~m的质数
质数怎么找，我就不说了。
但如果在线处理的话，我们仍然会超时，O(Tn)
所以我们要想办法进行离线处理。
我们先设a[i]为i!
接着我们再设b[i]为p1−1p1∗p2−1p2∗……∗pm−1pm
其中p集合为1~i中的质数。
那么a[n]*b[m]就是答案了。
不过，对于b[i]不能弄出个小数，所以我们只能乘上p集合数每个数的逆元。

代码

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;bool bk[110000];long long a[110000],b[110000];long long x,y;void niyuan(long long a,long long b){    if(b==0)    {        x=1;y=0;        return ;    }    niyuan(b,a%b);    long long t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    memset(bk,true,sizeof(bk));    for(int i=2;i<=100000;i++)    {        if(bk[i]==true)        {            for(int j=2;j<=100000/i;j++)            {                bk[i*j]=false;            }        }    }    a[1]=1;    for(int i=2;i<=100000;i++)    {        a[i]=(a[i-1]*i)%131071;    }    b[1]=1;    for(int i=2;i<=100000;i++)    {        if(bk[i]==false)        {            b[i]=b[i-1];        }        else        {            long long e=131071;            niyuan(i,e);            x=(x%e+e)%e;            b[i]=(b[i-1]*(i-1))%e;            b[i]=(b[i]*x)%e;        }    }    while(t--)    {        long long n,m;        scanf("%lld%lld",&n,&m);        printf("%lld\n",(a[n]*b[m])%131071);    }    return 0;}