[BZOJ1013][JSOI2008]球形空间产生器sphere-高斯消元

球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

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喜闻乐见的高斯消元……
话说这题可以退火吧？？?

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思路:
高斯消元就好了~
这里举三维的例子:
首先设球心为x,y,z，给出的4个点的坐标为ai,bi,ci，i∈{1,2,3,4}。
那么我们把第一个点单独提出来，列方程:
(ai−x)2+(bi−y)2+(ci−z)2=(a1−x)2+(b1−y)2+(c1−z)2
展开得
ai2−2aix+bi2−2biy+ci2−2ciz=a12−2a1x+b12−2b1y+c12−2c1z
移项得
2x(ai−a1)+2y(bi−b1)+2z(ci−c1)=a12−ai2+b12−bi2+c12−ci2

那么咱就得到了3个式子，3个未知数，直接解方程就好~

关于高斯消元的具体步骤：
首先像平时做数学题一样消出一个像这样的上三角矩阵:

1 1 0 3 7 100 1 9 2 6  90 0 5 1 4  80 0 0 3 8  70 0 0 0 9  6

然后就从下往上带入消元，解出每个变量就好~

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;typedef double db;const int N=49;int n;db base[N];db a[N][N];db x[N],tm;inline void gauss(){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int t=i;        for(int j=i+1;j<=n;j++)            if(a[j][i]>a[t][i])                t=j;        if(t!=i)            swap(a[t],a[i]);        for(int j=i+1;j<=n;j++)        {            tm=a[i][i]/a[j][i];            for(int k=i+1;k<=n+1;k++)                a[j][k]=a[i][k]-a[j][k]*tm;        }    }    for(int i=n;i>=1;i--)    {        for(int j=i+1;j<=n;j++)            a[i][n+1]-=x[j]*a[i][j];        x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];    }}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lf",&base[i]);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)        {            scanf("%lf",&tm);            a[i][j]=2.0*(tm-base[j]);            a[i][n+1]+=tm*tm-base[j]*base[j];        }    gauss();    for(int i=1;i<=n;i++)        printf("%.3lf%c",x[i]," \n"[i==n]);    return 0;}