[JSOI2008] [BZOJ1013] 球形空间产生器sphere - 高斯消元

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数，n。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

数据规模：

对于40%的数据，1<=n<=3

对于100%的数据，1<=n<=10

提示：给出两个定义：

1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

Source

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       首先我们考虑一下，假设我们设这个球心的坐标是(t1,t2,t3,...,tn)，那么我们可以得到每个点到球心的距离L。假设输入数据的第i行第j个数用a[i,j]表示，那么对于任意的0<i<n+2有：

       L=∑{(a[i,j]-t[i])^2}

       我们将每个平方式拆开，并且各式同时减去t[1...n]^2，各式仍然相等。

       所以，我们用第一个式子减去第二个式子，第二个式子减去第三个式子……第n个式子减去第n+1个式子，这样我们就得到了一个有n个式子的n元一次方程组。

      接下来我们将这n个式子写成矩阵的形式：将这n个式子的常数项丢到一边，根据矩阵的乘法的运算，我们可以得出：

    矩阵A(方程组系数矩阵)*矩阵B(答案矩阵)=矩阵C(方程组常数项矩阵)

       ∴ A^(-1) * C = B

       因此我们用Gauss-Jordan消元法，在A矩阵旁边连接一个同样大的单位矩阵，每次找出一个i*i位置的数作为主元，然后将主元所在行化为1，根据主元消去其他各行同一列的系数，将A矩阵变为单位矩阵，这时右边的连接的矩阵D就变为了矩阵A的逆矩阵。即D*A=单位矩阵。

      最后再和B矩阵相乘即可。

#include "stdio.h"#include "iostream"#include "math.h"const double eps=1e-8;using namespace std;const int N=15;double F[N][N<<1],rd; double x[N],si[N],ans[N];bool flag[N];double k;int n,tmp;int main(){    scanf("%d",&n); int i,j,p;    for (j=1;j<=n;j++)        cin>>si[j];    for (i=1;i<=n;i++){        for (j=1;j<=n;j++){            cin>>rd;            F[i][j]=2*(rd-si[j]);            x[i]+=rd*rd-si[j]*si[j];        }        F[i][n+i]=1.0;    }    for (i=1;i<=n;i++){        k=0.0,tmp=0;        for (j=1;j<=n;j++){            if (fabs(F[j][j])>fabs(k)&&!flag[j])            {               k=F[j][j],tmp=j;            }        }        flag[tmp]=true;        for (j=1;j<=2*n;j++){            F[tmp][j]=F[tmp][j]/k;        }        for (j=1;j<=n;j++){            if (j!=tmp)            {  k=F[j][tmp];               for (p=1;p<=2*n;p++){                   F[j][p]-=k*F[tmp][p];               }            }        }    }    for (i=1;i<=n;i++){        for (j=1;j<=n;j++){            ans[i]+=F[i][j+n]*x[j];        }    }    for (i=1;i<n;i++){        printf("%.3f ",ans[i]);    }    printf("%.3f\n",ans[n]);    return 0;}