最长递增子序列-动态规划dp-51node

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给出长度为N的数组，找出这个数组的最长递增子序列。(递增子序列是指，子序列的元素是递增的）

例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最长递增子序列是1 2 4 5 10。

输入

第1行：1个数N，N为序列的长度(2 <= N <= 50000)第2 - N + 1行：每行1个数，对应序列的元素(-10^9 <= S[i] <= 10^9)

输出

输出最长递增子序列的长度。

输入示例

8516824510

输出示例

5

【解法1】：

普通dp解法，时间复杂度O(n^2)

dp[i] 表示前i个序列最长子序列

状态方程dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);   0<j<i；条件判断（a[j]<a[i]）;

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1. #include <iostream>    
2. #include <algorithm>   
3. using namespace std;  
4. int main()  
5. {  
6.     int n,dp[50050],a[50050];  
7.     while(cin>>n)  
8.     {  
9.         for(int i=1;i<=n;i++)  
10.             cin>>a[i];  
11.         for(int i=1;i<=n;i++)  
12.         {  
13.             dp[i]=1;  
14.             for(int j=1;j<i;j++)  
15.                 if(a[j]<a[i]&&dp[i]<dp[j]+1)  
16.                     dp[i]=dp[j]+1;  
17.         }  
18.         int Max=0;  
19.         for(int i=1;i<=n;i++)  
20.             Max=max(Max,dp[i]);  
21.         cout<<Max<<endl;  
22.     }  
23. }  

【解法2】：

dp+二分查找。时间复杂度O(n*log(n))

dp[j]，递增序列长度为j时，最后一项最小是多少

每次加入一个元素，找到这个元素能接的长度。比如dp[3]=6，那可以接7（8,9...），然后更新dp[4]=7;

而且以此做法，dp始终会是递增的。

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1. #include <iostream>    
2. #include <algorithm>   
3. using namespace std;  
4. int main()  
5. {  
6.     int n,dp[50050],a[50050];  
7.     while(cin>>n)  
8.     {  
9.         for(int i=1;i<=n;i++)  
10.             cin>>a[i];  
11.         dp[1]=a[1];  
12.         int top=1;  
13.         for(int i=2;i<=n;i++)  
14.         {  
15.             if(a[i]<dp[1])dp[1]=a[i];//遇到了当前最小的数   
16.             else if(a[i]>dp[top])dp[++top]=a[i];//遇到了一个当前最大的数   
17.             else{  
18.                 int l=1,r=top;//二分查找  
19.                 while(l<r)  
20.                 {  
21.                     int mid=(l+r)/2;  
22.                     if(dp[mid]<=a[i])  
23.                         l=mid+1;  
24.                     else r=mid;  
25.                 }  
26.                 dp[l]=a[i];  
27.             }  
28.         }  
29.         cout<<top<<endl;  
30.     }  
31. }