动态规划：最长单调递增子序列

设：有一组整数组a个数为n，求其最大单调递增子序列
一，设计
简单分析：求的结果是求最优值，常见有贪心和动态规划，但可知其局部最优不能得到整体最优，
试用动态规划，动态规划解决是多阶段决策问题一种方法。（符合最优化原理，和无后效性）。
1.划分阶段，选择的过程是，对第一个的选择与否，对第二个的选择....对最后一个的选择与否，根据数组个数就有n个阶段。（注意的是，这个与最后的解的形式有点不一样）
1.1考虑其最优化原理，假设第k阶段的子序列最优的决策，那么最优决策第k-1步决策也是最优的证明略
1.2无后效性，其后的决策只与当前数值大小有关。
2.确定状态和状态变量，每个阶段的选与不选两个状态。
3.状态转移方程，所谓状态转移方程他是写到达某个状态的最优值与前面阶段状态最优值的关系，既写出从上阶段的状态中通过条件的最优筛选得出到达下阶段的一个状态的方程（正向思维）。或者是要到

达某一状态的最优解的值，则需要前状态的最优解的值（递归也就是逆向思考）
设b[i],储存在对第a[i]选择后的最优值,则b[n-1]既为最大值，i=0,b[i]=1;i>1,b[i]=b[i-1]+1(a[i-1]的最大单调递增子序列最后一个值<a[i]),发现确定其a[i-1]的最大单调递增子序列最后一个值很

麻烦（开始想，通过找出b[i]最大值求，结果发现在有多个最大值的情况下判断选择哪个又有问题了，麻烦死了，故放弃这个递归结构）。考虑，设b[i]储存以a[i]结尾的单调递增子序列最大值，i=0,b[i]=1；b

[i]=max{b[k]}+1,(k=0,1,...i-1)and(a[i]>a[k])，当算完后，在循环得出b[n]中最大的即为所求，这个递归的最终结果不一定是所求，其结果必然在其中的递归的一个过程中的解，应为在递归过程中

，他遍历了所有可能会是最大单调递增的子序列，故此种状态的值的定义也是可以的。比对上面的选择它不需要考虑存在多个b[i]最大值，他会按顺序考虑只要有符合的就可以了
4.根据要求写出最优解，此过程根据计算过程保存的数据得出.

上面比较详细的按一般过程写出了。
 
  实际的想法是这样的，看最优结构，是多阶段的，看这个问题是否可以根据一定的原则细分，其整个问题规模为求a[n],则考虑其子问题a[n-1]与a[n],可否有推导联系.然后根据得出的递归写出方程。

当然这是在题目简单的时候这样直接看出来。
  在分析按标准分析这个问题是遇到了几个障碍，主要是在对这个问题在动态规划上的抽象，如多阶段的划分，最优子策略。前面只做过书上的多段图的题目，其问题接近本质，而在这道题需要避免自

己的一些思维陷阱。
  这题花费时间较多，其由于对动态规划了解不够详细，而且题目做的不够，没有足够多的感性了解。对动态规划的许多东西抽象还不行，多练习。
 总的来说是，正向或递归分解问题，再解决子问题重复,根据具体题目看是否有其他优化的可能,ok
二，具体实现:

for(i=1,b[0]=1;i<=n;i++)                 //阶段
   {
    for(j=0,k=0;j<i;j++)   //k为以a[i]结尾的最优序列中的倒数第二个的下标            
    {
        if(a[j]<a[i] && k<b[j])k=b[j]; 
    }
            b[i]=k+1;   //对于k为0则b[i]=1;符合
   }  
最大值为数组b中最大值，b[i]储存以a[i]结尾的最大单调子序列的值

 

总结，对于最优结构的选择要考虑清楚，选择合适的