1.1 数据结构-时间复杂度计算

时间复杂度计算总结

内容概述：归纳总结时间复杂度计算方式，分为两种题型，一种解答方式。

时间复杂度定义：

在计算机科学中，是指定量描述该算法的运行时间。简单来说就是一个函数，根据算法的复杂程度，输入的数据规模大小，完成算法所需要的时间。通常使用大O符号表示，不包括函数的低阶项和首项系数。并且，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。
以下从维基百科统计的一些常用时间复杂度类别表中，其中，poly(x) = xO(1)，也就是x的多项式

计算方式

表示算法规模大小的函数用T(n)表示，若某个辅助函数f(n)，使得当n趋于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n)，计算步骤如下：

1. 计算算法的基本操作的执行次数T(n)
   基本操作是指算法中的每条语句，语句的执行次数又被称为语句的频度。并且，在做算法分析时，一般默认考虑最坏的情况。

2. 计算出T(n)的数量级
   进行如下操作，忽略常量，低次幂和最高次幂的系数。

3. 用大O来表示时间复杂度
   在n->无穷大时，T(n)/f(n)的值不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))。

举例说明

/**Author:Armyer**/int i,j;for(i = 0;i<n;i++){    for(j = 0;j<i;j++)    {        printf("%d\n",j);    }}

解答：
1. 基本操作次数T(n)=
即T(n)=n(n+1)/2

1. 忽略T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数，f(n)=n^2

2. 在n->无穷大时，lim(T(n)/f(n))=1/2。即算法时间复杂度为n^2

形式表现

• 1.循环主体中的变量参与循环条件的判断
  此类型应该找出主体语句中与T(n)成正比的循环变量，并将其带入条件进行计算。
  举例

/**Author:Armyerint i=1;while(i<n)    i=i*2;**/

解答：
i乘以2的次数为主体语句的执行次数t，固有2t⩽n，取对数后，可得t⩽log2n，故 T(n)=(log2n)

• 2.循环主体中的变量与循环条件无关
  此类型可采用数学归纳法或直接累计循环次数。多层循环时从内到外分析，忽略单步语句，条件判断语句，只关注主体语句的执行次数。此类型又可分为递归程序和非递归程序。

举例

/**递归程序Author: Armyerint fact(int n){    if(n<=1) return 1;    return n*fact(m-1);}**/

解答：
T(n)=1+T(n-1)=1+1+T(n-2)=…=n-+T(1)

/**非递归程序Author:Armyervoid fun(int n){    int i = 0;    while(i*i*i<=n)    {        i++;    }}**/

解答：
直接累计次数，t∗t∗t⩽n，T(n)=n√3