Mindis(圆的反演变换)

题意：

圆心 O 坐标(0, 0), 给定两点 P, Q（不在圆外），满足 PO = QO, 要在圆上找一点 D，使得 PD + QD 取到最小值。

官方题解：

做P点关于圆的反演点P',OPD与ODP'相似，相似比是|OP| : r。

Q点同理。

极小化PD+QD可以转化为极小化P'D+Q'D。

当P'Q'与圆有交点时，答案为两点距离，否则最优值在中垂线上取到。

时间复杂度 O(1)

$O(1$)

反演的定义：

已知一圆C，圆心为O，半径为r，如果P与P’在过圆心O的直线上，且，则称P与P'关于O互为反演。

反演的性质：

除反演中心外，平面上的每一个点都只有唯一的反演点，且这种关系是对称的，位于反演圆上的点，保持在原处，位于

反演圆外部的点，变为圆内部的点，位于反演圆内部的点，变为圆外部的点。 举个最简单的例子，区间以1为反演

半径，那么反演后的区间就是，这就是一维反演，而圆的反演是二维反演。

P向圆反演后的到P'，可以推出P'DO 与 PDO是相似三角形，那么PD的距离就可以通过P'D来算

Q点同理。

当 P'Q' 与圆有交点时：

不妨设交点为 O'，若 D 不为 O'，则 P'D + Q'D >  P'Q'（三角形两边之和大于第三边）；当且仅当 D 取 O' 时，P'Q + Q'D 取到最小值，即为 P'Q'。

当 P'Q' 与圆无交点时：

不妨将 P' 与 Q' 看成椭圆的两个焦点，当椭圆慢慢变大时，第一个碰到的圆上的点 D 即为使得 P'D + Q'D 最小的点；画个图就很显然了，第一个碰到的点即为 PQ 的中垂线与圆的交点。

至于判断有 P'Q' 与圆有没有交点，就是圆心到直线的距离与半径比较，又因为此处 P'O=Q'O，所以只需要比较 P'Q' 的中点到圆心的距离和半径的大小。

#include<bits/stdc++.h>#define eps 1e-6using namespace std;int main(){    //std::ios::sync_with_stdio(false);    //std::cin.tie(0);    double x1,y1,x2,y2,r,ans,dist;    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&r,&x1,&y1,&x2,&y2);        double d=sqrt(x1*x1 + y1*y1);        if(d<eps)        {            printf("%.7lf\n",2*r);            continue;        }        double k=(r*r)/(d*d); //    Q这个点反演点与他到圆心的比例        double x3=x1*k,y3=y1*k,x4=x2*k,y4=y2*k;        double ox=(x3+x4)/2,oy=(y3+y4)/2; //P,Q中点坐标        double dis=sqrt(ox*ox + oy*oy);        if(dis <= r)        {            dist=sqrt((x3-x4)*(x3-x4) + (y3-y4)*(y3-y4));            ans=dist*d/r;            printf("%.7lf\n",ans);        }        else        {            dis=dis-r;            double temp=sqrt((x3-x4)*(x3-x4) + (y3-y4)*(y3-y4))/2;            dist=sqrt(temp*temp + dis*dis );            ans=(dist +dist)*d/r;            printf("%.7lf\n",ans);        }    }}