HDU 2017 多校联合训练赛6 1002 6097 Mindis 反演变换 计算几何

Mindis

Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)

Special Judge

Problem Description

The center coordinate of the circle C is O, the coordinate of O is (0,0) , and the radius is r.
P and Q are two points not outside the circle, and PO = QO.
You need to find a point D on the circle, which makes PD+QD minimum.
Output minimum distance sum.

 

Input

The first line of the input gives the number of test cases T; T test cases follow.
Each case begins with one line with r : the radius of the circle C.
Next two line each line contains two integers x , y denotes the coordinate of P and Q.

Limits
T≤500000
−100≤x,y≤100
1≤r≤100

 

Output

For each case output one line denotes the answer.
The answer will be checked correct if its absolute or relative error doesn't exceed10−6.
Formally, let your answer be a, and the jury's answer be b. Your answer is considered correct if|a−b|max(1,b)≤10−6.

 

Sample Input

444 00 440 33 040 22 040 11 0

 

Sample Output

5.65685435.65685435.89450306.7359174

 

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 6


题目大意
已知一个圆心O在原点上的圆，半径为r，圆内有两点P，Q，满足OP = OQ，要求找到在圆上一点D，使PD+QD最小，输出这个最小的距离和。


题目分析
题目要求圆上一点到圆内两点的距离和最小，我们首先能够想到的就是椭圆具有这样的性质。但是，如果我们以给出的两点P，Q为焦点做椭圆，首先，我们并不能直观地分析椭圆与圆的内切情况，切点有一个还是两个，其次，我们也不容易直接计算椭圆的短半轴和长半轴，只能通过二分逼近短半轴b，找到椭圆与圆相切的情况，从而运用椭圆的特性a^2 = b^2+c^2，得到长轴2a。（具体过程请参考博客http://www.cnblogs.com/chen9510/p/7341215.html）

官方题解给出了反演变换的思路，求得P，Q两点关于圆O的反演点A，B，利用以A，B为焦点的椭圆直接分析计算出最小的距离和。
首先，反演点的定义，已知圆O的半径为R，从圆心O出发任作一射线，在射线上任取两点M,N。若OM=m，ON=n，且mn=R^2，则称点M,N是关于圆O的反演点.M,N关于圆O的一个变换叫做反演变换。（摘自百度百科）

如图，P，Q为圆内两点，D为圆上一点，A，B分别为P，Q关于圆O的反演点，M为AB中点。
由反演点的定义得，OP*OA=r*r，等式变换得OP/r=r/OA，我们发现，等式刚好是三角形OAD~三角形ODP的相似比表达式，设两三角形的相似比为rate=OP/r，那么PD/AD = rate。因为OP=OQ，所以OQ的情况与OP是完全一样的。现在我们就将求PD+QD的最小值转化为求AD+BD的最小值，结果在乘以相似比即可。
在这里我们要注意到，反演点A，B的连线AB与圆O的位置关系有两种情况，第一种，AB与圆O有交点（相交或相切），那么AD+BD的最小值就是线段AB的长（两点之间线段最短）；第二种，AB与圆O相离，那么我们需要以AB为焦点做椭圆，找到与圆相切的椭圆，切点即我们要找的D点，即AD+BD最小。并且，因为OP，OQ两边是完全对称的，所以D点一定在PQ的垂直平分线上。然后根据两点之间距离公式和勾股定理就能直接计算出AD+BD的值。

此外还有一种极限情况，如果P，Q两点重合，那么我们要找的D点就是OP(Q)所在半径与圆的交点。


代码

//已知圆心O，圆内两点P，Q，满足OP = OQ，求P，Q反演点A，B，AB中点为M，找到在圆上一点D，使PD+QD最小#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;const double acc = 1e-8;int T;double r, px, py, qx, qy;double ax, ay, bx, by;double dop, doa, dab, dam, dom, dmd, dad;//两点之间的距离d(op)double rate, ans;//rate:相似比double dis(double x1, double y1, double x2, double y2){    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));}int main(){    scanf ("%d",&T);    while (T--)    {        scanf ("%lf",&r);        scanf ("%lf %lf",&px,&py);        scanf ("%lf %lf",&qx,&qy);        dop = dis(0, 0, px, py);        if (fabs(px-qx)<=acc && fabs(py-qy)<=acc)//如果两个点重合        {            printf("%.7f\n",(r-dop)*2);        }        else        {            rate = dop/r;            doa = r*r/dop;//oa*op = r*r            double rate2 = dop/doa;            ax = px/rate2;            ay = py/rate2;            bx = qx/rate2;            by = qy/rate2;            dab = dis(ax, ay, bx, by);            dam = dab/2.0;            dom = sqrt(doa*doa-dam*dam);            if (dom > r)            {                dmd = dom-r;                dad = sqrt(dmd*dmd+dam*dam);                ans = 2*dad*rate;            }            else            {                ans = dab*rate;            }            printf("%.7f\n",ans);        }    }    return 0;}