hdu 6097 Mindis（多校联赛）

Mindis

Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)
Special Judge

Problem Description

The center coordinate of the circle C is O, the coordinate of O is (0,0) , and the radius is r.
P and Q are two points not outside the circle, and PO = QO.
You need to find a point D on the circle, which makes PD+QD minimum.
Output minimum distance sum.

 

Input

The first line of the input gives the number of test cases T; T test cases follow.
Each case begins with one line with r : the radius of the circle C.
Next two line each line contains two integers x , y denotes the coordinate of P and Q.

Limits
T≤500000
−100≤x,y≤100
1≤r≤100

 

Output

For each case output one line denotes the answer.
The answer will be checked correct if its absolute or relative error doesn't exceed 10−6.
Formally, let your answer be a, and the jury's answer be b. Your answer is considered correct if |a−b|max(1,b)≤10−6.

 

Sample Input

444 00 440 33 040 22 040 11 0

 

Sample Output

5.65685435.65685435.89450306.7359174

 

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 6

题意：

圆心 O 坐标(0, 0), 给定两点 P, Q（不在圆外），满足 PO = QO,

要在圆上找一点 D，使得 PD + QD 取到最小值。

这道题其实更接近一道数学题 知识要用代码去实现它 比赛做这道题的时候没有足够的精力取好好思考了 关键是没能想到做出辅助的反演点来解决  感觉反演点这个地方确实是巧妙 让我想到了以前的一道经典的数学题 ：一条河的同一侧有两个村庄 现在要在河上建立一个供水站 向两个村庄供水 求在哪建供水站 向两个村庄的铺设的水管最短   当然答案大家都知道 就是把期中一个村庄以河为对称轴做对称点 然后把这个对称点与另一个村庄连接 连线与河流的交线就是正确的选址地点   

这里用到了反演的知识 其实反演点与对称点的作用类似 

过点P做P的反演点P1，使得OP∗OP1=OD2=r2 

则OPOD=ODOP1=DPDP1

然后后面的计算与d点的求值 都会用到相关的比例 

当 P'Q' 与圆有交点时：

不妨设交点为 O'，若 D 不为 O'，则 P'D + Q'D >  P'Q'（三角形两边之和大于第三边）；当且仅当 D 取 O' 时，P'Q + Q'D 取到最小值，即为 P'Q'。

当 P'Q' 与圆无交点时：

不妨将 P' 与 Q' 看成椭圆的两个焦点，当椭圆慢慢变大时，第一个碰到的圆上的点 D 即为使得 P'D + Q'D 最小的点；画个图就很显然了，第一个碰到的点即为 PQ 的中垂线与圆的交点。

至于判断有 P'Q' 与圆有没有交点，就是圆心到直线的距离与半径比较，又因为此处 P'O=Q'O，所以只需要比较 P'Q' 的中点到圆心的距离和半径的大小。

代码会给出更详细的解释：

ac代码：

#include <bits/stdc++.h>#define eps 1e-8 //确定一个最小值 用于后续的比较int main(){    int T;    scanf("%d", &T);    while (T--)    {        double r, x1, y1, x2, y2;        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf", &r, &x1, &y1, &x2, &y2);//输入半径和点的坐标等信息        double d0 = sqrt(pow(x1, 2) + pow(y1, 2));        if (fabs(d0) < eps)//p和q两个点无限接近于原点        {            printf("%.7f\n", 2 * r);//此时的pd+qd就相当与两条半径            continue;        }        double k = r * r / (d0 * d0);//用这个比值 确定p和q的反演点        double x3 = x1 * k, x4 = x2 * k, y3 = y1 * k, y4 = y2 * k;//x3 y3 x4 y4分别是p和q对应的反演点        double mx = (x3+x4)/2, my = (y3+y4)/2, ans;//mx和my是 p和q反演点连线的中点坐标（以下用连线中点代替）        double d = sqrt(pow(mx,2)+pow(my,2));//原点（圆心）到pq反演点的中点的距离         if (d <= r)//判断反演点和半径的关系 如果两个反演点的中点到圆心的距离小于半径         {//即反演点之间的连线与圆相交或者相切 此时dp+qd的最小时的d点即是线与圆的交点            double dist = sqrt(pow(x3 - x4, 2) + pow(y3 - y4, 2));//长度符合反演点与原来点的比例关系            ans = dist * d0 / r;        }        else//其他的即是连线与圆相离时的状态 这时候的d点是p和q的反演点的连线的中垂线与圆的交点        {            double kk = r / d;//找出半径和连线中点到圆心距离的比例 即是现在的d点坐标与连线中点坐标的比例            double smx = mx * kk, smy = my * kk;//求出连线中点的坐标            ans = 2 *sqrt(pow(smx - x1, 2) + pow(smy - y1, 2));//求出最后连线的长度 乘2是因为此时pd=qd        }        printf("%.7f\n", ans);//注意保留小数的位数    }    return 0;}