HDU 6097 Mindis（计算几何）

Description

给出一个圆心为O(0,0)，半径为r的圆，并给出圆内两个距圆心等距的点P,Q，要求在圆上找一个点D，使得|PD|+|QD|最小，输出最小值

Input

第一行一个整数T表示用例组数，每组用例首先输入一整数r表示圆的半径，之后输入P,Q两点的横纵坐标xp,yp,xq,yq，保证|OP|=|OQ|(T≤500000,−100≤xp,yp,xq,yq≤100,1≤r≤100)

Output

对于每组用例，输出|PD|+|QD|的最小值，结果和精确值的相对误差及绝对误差不超过10−6

Sample Input

4
4
4 0
0 4
4
0 3
3 0
4
0 2
2 0
4
0 1
1 0

Sample Output

5.6568543
5.6568543
5.8945030
6.7359174

Solution

考虑P点关于圆心的反演点P′，由|OP||OP′|=r2知r|OP′|=|OP|r，即△OPD~△ODP′，同理对于Q点关于圆心的反演点Q′有△OQD~△ODQ′，相似比为|OP|r，且有△OPQ~△OP′Q′，相似比为|PQ||P′Q′|=|OP|2r2

如果|OP|=0，说明P,Q,O重合，显然答案是2r

如果|OP|>0，由于|PD|+|QD|=r|OP|(|P′D|+|Q′D|)，若P′Q′与圆相交则显然右端最小值为r|OP||P′Q′|=|OP|r|PQ|，如果不相交则D点取线段PQ的中垂线和圆的交点时|P′D|+|Q′D|最小，此时通过求出线段PQ中点R的坐标及|OD||OR|=r|OR可以得到D点坐标

Code

#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define eps 1e-8int sign(double x){    if(fabs(x)<eps)return 0;    if(x>eps)return 1;    return -1;}double dis(double x0,double y0,double x1,double y1){    double x=x1-x0,y=y1-y0;    return sqrt(x*x+y*y);}int main(){    int T;    double xp,yp,xq,yq,r;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&r,&xp,&yp,&xq,&yq);        double OP=dis(xp,yp,0,0),ans;        if(sign(OP)==0)ans=2.0*r;        else        {            double xr=0.5*(xp+xq),yr=0.5*(yp+yq);            double OR=dis(xr,yr,0,0);            double ORR=OR*r*r/(OP*OP);            if(sign(ORR-r)<=0)ans=dis(xp,yp,xq,yq)*r/OP;            else            {                double xs=xr*r/OR,ys=yr*r/OR;                ans=2.0*dis(xp,yp,xs,ys);            }        }        printf("%.10f\n",ans+eps);    }    return 0;}