线性求区间欧拉函数（顺便线性求区间内所有素数）（类似欧拉线性素数筛）

该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。

    需要用到如下性质(p为质数)：

    1. phi(p)=p-1   因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质

    2. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=p * phi(i)  证明如下

    (上述证明存在bug。。感谢@PrimaryOIer指教)

    上面的过程证明了从区间[1,i]->[i+1,i+i]，若整数n不与i互质，n+i依然与i不互质。下面给出另一个证明：若整数n与i互质，n+i与i依然互质

    3.若i mod p ≠0,  那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)

        i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i * p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即第一条性质

[cpp] view plain copy

 print?

1. #include<iostream>    
2. #include<cstdio>    
3. #define N 40000    
4. using namespace std;    
5. int n;    
6. int phi[N+10],prime[N+10],tot,ans;    
7. bool mark[N+10];    
8. void getphi()    
9. {    
10.    int i,j;    
11.    phi[1]=1;    
12.    for(i=2;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程    
13.    {    
14.        if(!mark[i])    
15.            {    
16.              prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。    
17.              phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1    
18.              }    
19.        for(j=1;j<=tot;j++)    
20.        {    
21.           if(i*prime[j]>N)  break;    
22.           mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数    
23.           if(i%prime[j]==0)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数    
24.           {    
25.              phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;    
26.           }    
27.           else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性    
28.        }    
29.    }    
30. }    
31. int main()    
32. {    
33.     getphi();    
34. }    

PS：我的代码如下：

void get_phi_and_primes(int n){for(int i = 1;i <= n;i++)  phi[i] = 0;phi[1] = 1;for(int i = 2;i <= n;i++){if(!phi[i]) {primes[++pcnt] = i;phi[i] = i - 1;}for(int j = 1;j <= pcnt && primes[j] * i <= n;j++){int t = primes[j];if(i % primes[j] == 0){phi[i * t] = phi[i] * t;break;}else phi[i * t] = phi[i] * (t - 1);}}}