欧拉线性筛求质数

欧拉线性筛法。

应用：

1.筛质数

不会重复筛除，是线性O（n）的复杂度。

const int MAXN=3000001;  int prime[MAXN];//保存素数   bool mark[MAXN];//初始化   int Prime(int n)  {      int cnt=0;      memset(mark,0,sizeof(mark));      for(int i=2;i<n;i++)      {          if(!mark[i])          prime[++cnt]=i;          for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<n;j++)          {              mark[i*prime[j]]=1;              if(i%prime[j]==0)//关键               break;          }      }      return cnt;//返回小于n的素数的个数   }  

首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。
然后利用了每个合数必有一个最小素因子，每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。
代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;
prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉,因为某个数只会被它的最小的质因数更新，而这里不满足。
因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。

例子：
比如当前i=15，那么其最小素因数是3，而且它可以表示成3*5；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
那么筛到这里也就可以停止了，因为i*prime[j+1],也就是5*15=75，一定会在当i=25时被其最小素因数3更新。

2.求欧拉函数

利用欧拉函数的性质( p为质数 )：
1. phi(p)=p-1 
2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=p * phi(i)
3.若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 )

以上两条均可以用欧拉函数的表达式推出E(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)…*(1-1/pn) 其中px是n的质因数。）

void getPhi(){    int i,j,tot=0;    for(i=2;i<=MaxN;i++)                  {        if(Mark[i]==false){  Prime[++tot]=i;phi[i]=i-1;  }        //当 i 是素数时 phi[i]=i-1        for(j=1; j<=tot&&i*Prime[j]<=MaxN; j++)                                  {            Mark[i*Prime[j]]=true;                        if(i%Prime[j]==0)                                            {                   phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                break;            }//如果i mod p = 0, 那么 phi[i * p]=p * phi[i]             else   phi[i*Prime[j]]=phi[i]*(Prime[j]-1);        }        //其实这里Prime[j]-1就是phi[Prime[j]]，利用了欧拉函数的积性          }             }

3.求组合数取模(分解质因数法)Cnm mod p

以C64为例：
C64=(6!)/(4!×2!)=((2×3)×(5)×(2×2)×(3)×(2)) / ((2×2)×(3)×(2)×(2))

我们记录分子分母中对应质数的个数：分子:Pri[2]=4,Pri[3]=2,Pri[5]=1
分母:Pri’[2]=4,Pri’[3]=1
上下抵消，剩下Pri[3]=1,Pri[5]=1