并查集！！！

并查集的时间复杂度

O(n*α(n))

其中α(x),对于x=宇宙中原子数之和,α(x)不大于4

事实上，路经压缩后的并查集的复杂度是一个很小的常数。

下面的文章转载自http://dongxicheng.org/structure/union-find-set/

1、  概述

并查集（Disjoint set或者Union-find set）是一种树型的数据结构，常用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。

2、  基本操作

并查集是一种非常简单的数据结构，它主要涉及两个基本操作，分别为：

A． 合并两个不相交集合

B． 判断两个元素是否属于同一个集合

（1）       合并两个不相交集合（Union(x,y)）

合并操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

上图为两个不相交集合，b图为合并后Father(b):=Father(g)

（2）       判断两个元素是否属于同一集合（Find_Set(x)）

本操作可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

3、  优化

（1）       Find_Set(x)时，路径压缩

寻找祖先时，我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度。为了避免这种情况，我们需对路径进行压缩，即当我们经过”递推”找到祖先节点后，”回溯”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示。可见，路径压缩方便了以后的查找。

（2）       Union(x,y)时，按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

4、  编程实现

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intfather[MAX];   /* father[x]表示x的父节点*/

 

intrank[MAX];     /*rank[x]表示x的秩*/

 

 

 

voidMake_Set(intx)

 

{

 

father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化

 

rank[x] = 0;   //根据实际情况初始化秩也有所变化

 

}

 

/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/

 

intFind_Set(intx)

 

{

 

if(x != father[x])

 

{

 

father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华

 

}

 

returnfather[x];

 

}

 

/*

 

按秩合并x,y所在的集合

 

下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化

 

但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。

 

*/

 

voidUnion(intx, inty)

 

{

 

x = Find_Set(x);

 

y = Find_Set(y);

 

if(x == y) return;

 

if(rank[x] > rank[y])

 

{

 

father[y] = x;

 

}

 

else

 

{

 

if(rank[x] == rank[y])

 

{

 

rank[y]++;

 

}

 

father[x] = y;

 

}

 

}

5、  复杂度分析

空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料（3）。

6、  应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有：求无向图的连通分量个数，最近公共祖先（LCA），带限制的作业排序，实现Kruskar算法求最小生成树等。

7、  参考资料

（1）       并查集：http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86

（2）       博文《并查集详解》：http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/

（3）       Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets, pp. 498–524.

下面的文章转载自https://segmentfault.com/a/1190000004023326：

性质

并查集算法不支持分割一个集合。

算法

用集合中的某个元素来代表这个集合，该元素称为集合的代表元。
一个集合内的所有元素组织成以代表元为根的树形结构。
对于每一个元素 parent[x]指向x在树形结构上的父亲节点。如果x是根节点，则令parent[x] = x。
对于查找操作，假设需要确定x所在的的集合，也就是确定集合的代表元。可以沿着parent[x]不断在树形结构中向上移动，直到到达根节点。

判断两个元素是否属于同一集合，只需要看他们的代表元是否相同即可。

路径压缩

 为了加快查找速度，查找时将x到根节点路径上的所有点的parent设为根节点，该优化方法称为压缩路径。  使用该优化后，平均复杂度可视为Ackerman函数的反函数，实际应用中可粗略认为其是一个常数。

用途

1、维护无向图的连通性。支持判断两个点是否在同一连通块内，和判断增加一条边是否会产生环。（不理解）
2、用在求解最小生成树的Kruskal算法里。

reference

《ACM国际大学生程序设计竞赛 知识与入门 俞勇主编》

三个操作

一般来说，一个并查集一三个操作。

初始化

包括对所有单个的数据建立一个单独的集合（即根据题目的意思自己建立的最多可能有的集合，为下面的合并查找操作提供操作对象）
在每一个单个的集合里面，有三个东西。
1，集合所代表的数据。（这个初始值根据需要自己定义，不固定）
2，这个集合的层次通常用rank表示（一般来说，初始化的工作之一就是将每一个集合里的rank置为0）。
3，这个集合的类别parent（有的人也喜欢用set表示）（其实就是一个指针，用来指示这个集合属于那一类，合并过后的集合，他们的parent指向的最终值一定是相同的。）
（有的简单题里面集合的数据就是这个集合的标号，也就是说只包含2和3，1省略了）。
初始化的时候，一个集合的parent都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。
（最简单的集合就只含有这三个东西了，当然，复杂的集合就是把3指针这一项添加内容，如PKU食物链那题，我们还可以添加enemy指针，表示这个物种集合的天敌集合；food指针，表示这个物种集合的食物集合。随着指针的增加，并查集操作起来也变得复杂，题目也就显得更难了）

结构体表示法

有的人是建立一个结构体把集合表示出来，如：

#define MAX 10000struct Node{    int data;    int rank;    int parent; }node[MAX];

数组表示法

有的人则是弄很多相同大小的数组，如：

int set[max];//集合index的类别，或者用parent表示int rank[max];//集合index的层次，通常初始化为0int data[max];//集合index的数据类型//初始化集合void Make_Set(int i){    set[i]=i;//初始化的时候，一个集合的parent都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。    rank[i]=0;}

一般来说，题目简单用数组，题目复杂用结构体，因为结构体有条理，数组可以少打几个字。    

查找函数

就是找到parent指针的源头，可以把函数命名为get_parent（或者find_set，这个随你喜欢，以便于理解为主）
如果集合的parent等于集合的编号（即还没有被合并或者没有同类），那么自然返回自身编号。
如果不同（即经过合并操作后指针指向了源头（合并后选出的rank高的集合））那么就可以调用递归函数，如下面的代码：

/***查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）。 如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号； 否则查找集合i的父亲的源头。**/int get_parent(int x){    if(node[x].parent==x)        return x;    return get_parent(node[x].parent);}

数组的话就是：

//查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）int Find_Set(int i){     //如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号   if(set[i]==i)       return set[i];    //否则查找集合i的父亲的源头    return  Find_Set(set[i]);        }

合并集合函数

这就是所谓并查集的并了。至于怎么知道两个集合是可以合并的，那就是题目的条件了。
先看代码：

void Union(int a,int b){    a=get_parent(a);    b=get_parent(b);    if(node[a].rank>node[b].rank)        node[b].parent=a;    else    {            node[a].parent=b;        if(node[a].rank==node[b].rank)            node[b].rank++;    }}

再给出数组显示的合并函数：

void Union(int i,int j){    i=Find_Set(i);    j=Find_Set(j);    if(i==j) return ;    if(rank[i]>rank[j]) set[j]=i;    else    {        if(rank[i]==rank[j]) rank[j]++;           set[i]=j;    }}