[清橙A1212]剪枝-动态规划

剪枝

问题描述

　　给出一棵有根树。树有n个结点，被分别标记成1到n的整数，1号结点为根结点。第i(1≤i≤n)个结点的权值为Wi。对于结点i，它有Ti个孩子，从左到右依次为Pi1，Pi2，…，PiTi。特别地，若i号结点是叶结点，则Ti=0。
　　我们对树进行深度优先搜索（DFS），每个点必须按从左到右的顺序访问每个孩子，形成一个DFS序列，记作Seq{Seq1,Seq2,…,Seqn}。对于两个叶结点a、b，我们说它们是相邻的，当且仅当不存在另外的叶结点c，在DFS序列中c在a、b之间。换个方式讲，对于叶结点a、b、c，记Seqi=a,Seqj=b(i

输入格式

　　第1行：n；
　　第2..n+1行：第i+1行为Wi，Ti，Pi1，Pi2，…，PiTi。
　　

输出格式

　　第1行：这棵树修改后的最大价值。
　　

样例输入

3
1 2 2 3
2 0
2 0

样例输出

3

样例输入

8
4 2 2 3
2 3 4 5 6
3 2 7 8
5 0
4 0
2 0
1 0
1 0

样例输出

6

数据规模和约定

　　对于20%的数据，n ≤ 20；
　　对于60%的数据，n ≤ 2000；
　　对于100%的数据，n ≤ 100000，0 < Wi ≤ 10000。

---

很久很久以前，长者(咱机房一神犇de外号)在对着这题码代码。
路过的咱:这题莫不是维护一条链的dp值向相邻的另一条链转移？
一天以后，长者在写题解。
路过的咱:（看到在画图）莫不是咱说对了？
长者:是的你说对了。
……
今天，长者出模拟题，直接把这题原题搬了过来。
咱一直在做T2导致完全没去管这道题，只写了个暴力。

下考以后:诶呀这道题眼熟啊？？难道是那个在链上转移的……
走过来的长者:你™不是知道思路吗怎么没A这道题啊。
咱:……

(╯‵□′)╯︵┻━┻

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思路:
设dp[i]表示第i个节点作为dfs序上最后一个节点时树的最大价值。
咱从左往右dfs，维护两个栈:
a栈:保存上一条走过的链
b栈:保存当前正在走的链

显然咱可以用a栈上的点去更新b栈上的点，如下图:
（显然下图就是咱说的长者那天在画的图）

图中红色的链为a栈保存的链，橙色部分为a栈的参与更新部分，绿色的点为b栈上的链。
那么咱可以用橙色部分的dp值更新绿色部分的dp值。
最后，在dp到最后一条链上时统计一下最大值即可~

具体实现:
（这部分也是我当时没去写这题的原因）
dfs记录最近的分叉点（也就是所谓LCA），因为这会是橙色链和绿色链相交的地方。
然后考虑把最大值分成两部分，a栈到分叉点上的最大值和b栈到分叉点最大值。
显然这两者都可以用前缀最大值维护~
那么就维护呗。不然只有60pts哦。

然后转移分两种情况:
一种是最大值在b栈内。
这个可以用两个指针，从交叉点各自往下沿路记录点权最大值，对于a栈还需沿路记录dp最大值。
枚举b栈上的点，直到a栈内的点权最大值大于当前枚举的b栈的点的前缀点权最大值之前，在a栈上一路往下扫，扫到不能扫时用当前dp最大值和b栈前缀最大值更新当前b栈上所枚举点的答案。
此时就可以顺边保存一下前缀最大值了~

然后另一种是最大值在a栈内。
那么反过来，还是两个指针，但从叶子结点往上跑，在a栈前缀点权最大值比当前枚举的b栈节点最大值小之前不要停。一旦停下，那就更新dp值。

最后，把b栈中的点加入a栈，形成新的”上一条链”。

那么这就大功告成了~
自认为讲的还比较详细了~（和某长者的”详细注释”和”比题解更详细的内容”比）

咱还加了每步的注释，是不是很良心啊（你个偷懒不愿打汉字的奇葩）
另外样例一是错的，相信聪明的大家也都注意到了（笑）

#include<iostream>#include<vector>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;inline int read(){    int x=0;char ch=getchar();    while(ch<'0' || '9'<ch)ch=getchar();    while('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();    return x;}const int N=100009;const int Inf=1e9;vector<int> g[N];int n,val[N];int dp[N];//two chainint a[N],pos[N],atop;int b[N],btop;int mval[N];void dfs(int u,int top)//the nerest cross to u's id in chain a{    if(top==0)//start of chain a    {        a[++atop]=u;        pos[u]=atop;        dp[u]=val[u];    }    if(g[u].size()==0)    {        if(top==0)//as a start,there's no any chains before            return;        int maxa=val[a[top]];//init by crosspoint's val        int maxdp=-Inf;        int curpos=top;//start of chain a        int maxb=maxa;        int va,vb;        //divide:maxb in chain a lower than maxa in chain b or bigger        for(int i=1;i<=btop;i++)//for each in chain b ,up to down (now is the lower part)        {            while(curpos+1<=atop && val[a[curpos]]<=maxa)            {                if(val[a[curpos]]>maxb)//update maximum val from cross to cur                    maxb=val[a[curpos]];                curpos++;                va=a[curpos];                if(dp[va]>maxdp)//update max dp val                    maxdp=dp[va];                mval[va]=maxb;//mval is the maximum val from cross to cur            }            vb=b[i];//update current pos in chain b            dp[vb]=maxdp-maxa;//update max dp val            mval[vb]=maxa;//record maximum val,same as chain a part            if(val[vb]>maxa)//same as chain a                maxa=val[vb];        }        while(curpos+1<=atop)//calc the rest point in chain a to get mval[]        {            va=a[curpos];            if(val[va]>maxb)                maxb=val[va];            mval[a[++curpos]]=maxb;        }        maxdp=-Inf;        curpos=atop;//from the bottom of chain a        for(int i=btop;i>=1;i--)//for each in chain b,down to up (now is the bigger part)        {            while(curpos>=top+1 && mval[a[curpos]]>=mval[b[i]])            {                va=a[curpos];                if(dp[va]-mval[va]>maxdp)//get maximum dp val                    maxdp=dp[va]-mval[va];                curpos--;            }            vb=b[i];            if(maxdp>dp[vb])//update chain b                dp[vb]=maxdp;        }        //delete part of chain a and add chain b into chain a        for(int i=1;i<=btop;i++)        {            vb=b[i];            dp[vb]+=val[vb];//add self            a[top+i]=vb;            pos[vb]=top+i;        }        atop=top+btop;//update len;    }    else//not a leaf    {        for(int i=0,v;i<g[u].size();i++)        {            v=g[u][i];            if(i==0)//for the first son,add into chain b            {                if(top)                    b[++btop]=v;                dfs(v,top);            }            else            {                b[btop=1]=v;//else we create a new chain b                dfs(v,pos[u]);//u is the cross we get in new chain b            }        }    }}int main(){    n=read();    for(int i=1,siz;i<=n;i++)    {        val[i]=read();        siz=read();        for(int j=1;j<=siz;j++)            g[i].push_back(read());    }    dfs(1,0);    int ans=0;    for(int i=1;i<=atop;i++)        if(dp[a[i]]>ans)            ans=dp[a[i]];    printf("%d\n",ans);    return 0;}/*31 2 2 32 02 0*/