UVa679-Dropping Balls-小球下落-二叉树的编号

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-679 本题程序并不是按照OJ输入输出的！

有一棵二叉树，最大深度为D，且所有叶子的深度都相同。所有结点从上到下从左到右编号为1, 2, 3,…, 2D-1。在结点1处放一个小球，它会往下落。每个内结点上都有一个开关，初始全部关闭，当每次有小球落到一个开关上时，状态都会改变。当小球到达一个内结点时，如果该结点上的开关关闭，则往左走，否则往右走，直到走到叶子结点，如下图所示。

图  所有叶子深度相同的二叉树

一些小球从结点1处依次开始下落，最后一个小球将会落到哪里呢？输入叶子深度D和小球个数I，输出第I个小球最后所在的叶子编号。假设I不超过整棵树的叶子个数。D≤20。输入最多包含1000组数据。 

样例输入：
4 2
3 4
10 1
2 2
8 128
16 12345
样例输出：

12
7
512
3
255
36358

分析：

1、完全二叉树中，对于一个结点k，其左子结点、右子结点的编号分别是2k和2k+1。

2、开辟数组直接模拟状态。下面代码中，1<<n 代表1往左移n位，二进制表示。所以1<<20就是2^20

方法一：

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;const int maxd=20;int s[1<<maxd];int main(){    int D,I;    while(cin>>D>>I){        memset(s,0,sizeof(s));        int k=1;        while(I--){            k=1;            for(int i=1;i<=D;i++){                if(s[k]==0) {                    s[k]=1;                    k=2*k;                }else{                    s[k]=0;                    k=2*k+1;                }            }        }        cout<<k/2<<endl;    }    return 0;}/*for循环也可以这样写for(int i=1;i<=D;i++){    s[k]=!s[k];    k=s[k]?2*k:2*k+1;}*/

方法改进：

此程序运算量太大。由于I可以高达2D-1，每组测试数据下落总层数可能会高达219*19=9961472，而一共可能有10000组数据…… 

每个小球都会落在根结点上，因此前两个小球必然是一个在左子树，一个在右子树。一般地，只需看小球编号的奇偶性，就能知道它是最终在哪棵子树中。对于那些落入根结点左子树的小球来说，只需知道该小球是第几个落在根的左子树里的，就可以知道它下一步往左还是往右了。依此类推，直到小球落到叶子上。 

如果使用题目中给出的编号I，则当I是奇数时，它是往左走的第（I+1）/2个小球；当I是偶数时，它是往右走的第I/2个小球。这样，可以直接模拟最后一个小球的路线。

方法二：

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int D,I;    while(cin>>D>>I){        int k=1; //k是最后一个小球所走的序号        for(int i=0;i<D-1;i++){            if(I%2){                k=2*k; //奇数往左走                I=(I+1)/2; //是往左走的第(I+1)/2个            }else{                k=2*k+1; //偶数往右走                I=I/2; //是往右走的第I/2个            }        }        cout<<k<<endl;    }    return 0;}