[SMOJ2165]treap

Treap 模板题，插入和删除参见 Treap总笔记，这里简要谈谈如何在一棵 Treap 中求第 k 小的值。

我们不妨在每一个结点 u 记录附加值 cnt 和 size，其中 cnt 表示与 u 的值重复的数的个数（这样就可以使用 lazy delete 的方法），size 表示以 u 为根的子树的总数字个数，即

sizeu=cntu+∑sizev for each child v of u

为什么要维护这两个值呢？是为了方便我们后面的判断。

对于在当前以 u 为根的子树，求第 k 小的值时，不妨分类讨论答案的范围。记左子结点为 l，则：

• 当 k≤sizel 时，考虑到左子树的值均小于当前结点，则答案一定在左子树中，递归到左子树找第 k 小
• 当 sizel<k≤sizel+cntu 时，要求的正好是当前重复的一段，当前结点即为答案，返回当前结点的值
• 不满足上述两种情况，答案在右子树，但因为当前子树中已有 sizel+cntu 个数肯定小于答案，因此问题转化为求右子树第 k−sizel−cntu 小

这样即可在 O(log2N) 的时间内完成询问。

需要注意的是，在代码中，需要在插入、删除和旋转后重新维护上述两个值（前两者是因为子树中对应的值已经发生了变化，旋转是因为子树的关系变化）。原则上必须按照自底向上的顺序维护，否则会出问题。因此旋转后，应先维护原根结点的值（现在它是子结点），再维护被旋上去的结点的值（现在它是根）。

参考代码一（懒删除）：

#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;struct Tnode {    Tnode *child[2];    int fix, val;    int siz, cnt;    Tnode (int v = 0) : fix(rand()), val(v), siz(1), cnt(1) { //构造函数        child[0] = child[1] = 0;    }    void update() { //维护子树信息        int lsiz = (child[0] ? child[0] -> siz : 0); //注意要子结点非空才能取值，否则读非法内存        int rsiz = (child[1] ? child[1] -> siz : 0);        siz = cnt + lsiz + rsiz;    }};struct Treap {    Tnode *root;    Treap() { root = 0;/*new Tnode;*/ }    void rotate(Tnode *&cur, int dir) { //dir=0左旋，1右旋        Tnode *ch = cur -> child[dir ^ 1];        cur -> child[dir ^ 1] = ch -> child[dir];        ch -> child[dir] = cur;        cur -> update(); //自下向上的维护顺序        ch -> update();        cur = ch;    }    void insert_val(Tnode *&cur, int v) {        if (cur == NULL) cur = new Tnode(v);        else {            if (v == cur -> val) ++(cur -> cnt); //重复结点不新增            else {                int t = v > cur -> val;                insert_val(cur -> child[t], v);                if (cur -> child[t] -> fix < cur -> fix) rotate(cur, t ^ 1); //维护修正值的最小堆性质            }            cur -> update();        }    }    int query_kth(Tnode *&cur, int k) {        if (cur == NULL) return 0; //当前为空时及时返回 0，否则下面读非法内存        if (k > cur -> siz) return 0; //要查的数排名比整个子树大小还大，无解        int lsiz = (cur -> child[0] ? cur -> child[0] -> siz : 0);        //分类讨论        if (k <= lsiz) return query_kth(cur -> child[0], k);        else if (k <= lsiz + cur -> cnt) return cur -> val;        else return query_kth(cur -> child[1], k - lsiz - cur -> cnt);    }    void remove_val(Tnode *&cur, int v) {        if (cur -> val == v) { //只改动标记            -- cur -> cnt;            -- cur -> siz;            return;        }        remove_val(cur -> child[v > cur -> val], v); //直接修改标记就不需要旋转了        cur -> update(); //删完维护一下信息    }} lkb_treap;int main(void) {    freopen("2165.in", "r", stdin);    freopen("2165.out", "w", stdout);    int N; scanf("%d", &N);    while (N--) {        int ch, k; scanf("%d%d", &ch, &k);        if (ch == 1) lkb_treap.insert_val(lkb_treap.root, k);        else if (ch == 2) printf("%d\n", lkb_treap.query_kth(lkb_treap.root, k));        else lkb_treap.remove_val(lkb_treap.root, k);    }    return 0;}

参考代码二（旋转删除）：

#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;struct Tnode {    Tnode *child[2];    int fix, val;    int siz;    Tnode (int v = 0) : fix(rand()), val(v), siz(1) {        child[0] = child[1] = 0;    }    void update() {        int lsiz = (child[0] ? child[0] -> siz : 0);        int rsiz = (child[1] ? child[1] -> siz : 0);        siz = lsiz + 1 + rsiz;    }};struct Treap {    Tnode *root;    Treap() { root = 0;/*new Tnode;*/ }    void rotate(Tnode *&cur, int dir) { //dir=0左旋，1右旋        Tnode *ch = cur -> child[dir ^ 1];        cur -> child[dir ^ 1] = ch -> child[dir];        ch -> child[dir] = cur;        cur -> update();        ch -> update();        cur = ch;    }    void insert_val(Tnode *&cur, int v) {        if (cur == NULL) cur = new Tnode(v);        else {            int t = v > cur -> val; //插入到哪棵子树            insert_val(cur -> child[t], v); //小于等于的都插左边，重复也新增            if (cur -> child[t] -> fix < cur -> fix) rotate(cur, t ^ 1);            cur -> update();        }    }    int query_kth(Tnode *&cur, int k) {        if (cur == NULL) return 0;        if (k > cur -> siz) return 0;        int lsiz = (cur -> child[0] ? cur -> child[0] -> siz : 0);        if (k <= lsiz) return query_kth(cur -> child[0], k);        else if (k == lsiz + 1) return cur -> val;        else return query_kth(cur -> child[1], k - lsiz - 1);    }    void remove_val(Tnode *&cur, int v) {        if (v == cur -> val) {            //分类讨论            if (!cur -> child[0] && !cur -> child[1]) cur = NULL; //叶子结点直接删            else if (cur -> child[0] && cur -> child[1]) { //有两个儿子                int t = cur -> child[0] -> fix < cur -> child[1] -> fix; //选修正值更小的代替自己以维护其最小堆性质                rotate(cur, t);                remove_val(cur -> child[t], v); //把旧的根旋下去之后递归删除                cur -> update();            } else if (cur -> child[0]) cur = cur -> child[0]; else cur = cur -> child[1]; //链结点直接代替        } else {            remove_val(cur -> child[v > cur -> val], v);            cur -> update();        }    }} lkb_treap;int main(void) {    freopen("2165.in", "r", stdin);    freopen("2165.out", "w", stdout);    int N; scanf("%d", &N);    while (N--) {        int ch, k; scanf("%d%d", &ch, &k);        if (ch == 1) lkb_treap.insert_val(lkb_treap.root, k);        else if (ch == 2) printf("%d\n", lkb_treap.query_kth(lkb_treap.root, k));        else lkb_treap.remove_val(lkb_treap.root, k);    }    return 0;}