多边形游戏（博弈）

问题描述：

多边形游戏是一个双人游戏。游戏在一个有n个顶点的凸多边形上进行，这个凸多边形的n-3条对角线将多边形分成n-2个三角形，三角形中的一个被染成黑色，其余是白色。双方轮流进行游戏，当轮到一方时，他必须沿着画好的对角线，从多边形上切下一个三角形。切下黑色三角形的一方获胜。

输入

多组测试数据。每组测试数据第一行n，表示顶点数。多边形的顶点从0到n-1顺时针标号，接着的n-2行描述组成多边形的三角形，且第一行给出的是黑色三角形的描述。当n=0时表示输入结束。

输出

对每组测试数据，输出YES或NO：YES，表示先走的一方有必胜策略；NO，表示先走的一方没有必胜策略。

样例

1

6

0 1 2

2 4 3

4 2 0

0 5 4

YES

思路：本题初看似乎很复杂，设计那么多的边和三角形，但想想，可以将图形进行转换，尝试将多边形的每个三角形看成一个结点，有公共边的三角形所对应的顶点之间连一条边，则所给的图形可以看作是有n-2个结点，n-3条边的一个无向图G。显然，G构成一棵树T，把黑色三角形对应的结点看作树T的根，则树T最多有三棵子树。

接下来考虑必胜策略，显然，若要切掉根结点，则必须先将根的子树切到只剩一根。需要考虑的只是子树的结点个数，用非负整数（x,y,z）表示根的三棵子树的结点个数，不妨设x<=y<=z，则显然z>0。

（1）y=0，则x=0，为必胜状态；

（2）y>0，则最终结局必是（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1）的一种；

显然，在（2）情况下，要想让先走的赢，x+y+z为奇数。

算法实现：主要的问题在于x，y，z的求取。由于多边形为顺时针编号，设黑三角形的编号为（i,j,k），假设满足i<j<k，则树T的三棵子树对应的多边形分别有j-i-1，k-j-1，n-(k-i-1)个顶点，也就会包含有j-i-1，k-j-1，n+i-k-1个三角形（结点），排序后，对应x，y，z。

代码：

int main(){          while(cin>>n&&n)          {                     cin>>i>>j>>k；                     n-=3;                     while(n--)                                  cin>>a>>b>>c;                     Swap(i,j,k);//排序：i<j<k                     x=j-i-1,y=k-j-1,z=n+i-k-1;                     Swap(x,y,z);//排序：x<=y<=z                     if(y==0||(x+y+z)&1)                                  printf("Yes\n");                     else                                  printf("No\n");           }}