计算直线的交点数（HDU-1466）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1466

Problem Description

平面上有n条直线，且无三线共点，问这些直线能有多少种不同交点数。
比如,如果n=2,则可能的交点数量为0(平行)或者1(不平行)。

 

Input

输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,每行包含一个正整数n（n<=20）,n表示直线的数量.

 

Output

每个测试实例对应一行输出，从小到大列出所有相交方案，其中每个数为可能的交点数,每行的整数之间用一个空格隔开。

 

Sample Input

23

 

Sample Output

0 10 2 3

题解：

n条直线互不平行且无三线共点的最多交点数max=1+2+……(n-1)=n(n-1)/2,

所以n=20的话，最大的交点数是190

本题是求有多少种交点数：

容易列举出N=1,2,3的情况：

0

0，1

0，2，3

如果已知<N的情况，我们来分析加入第N条直线的情况(这里N=4)：

1、第四条与其余直线全部平行 => 无交点；

2、第四条与其中两条平行，交点数为(n-1)*1+0=3;

3、第四条与其中一条平行，这两条平行直线和另外两点直线的交点数为(n-2)*2=4,而另外两条直线既可能平行也可能相交，因此可能交点数为：

                   （n-2）*2+0=4    或者         (n-2)*2+1=5     

4、 第四条直线不与任何一条直线平行，交点数为：

      (n-3)*3+0=3   或者 (n-3)*3+2=5    或者 (n-3)*3+3=6

即n=4时，有0个，3个，4个，5个，6个不同交点数。

从上述n=4的分析过程中，我们发现：

m条直线的交点方案数

=（m-r）条平行线与r条直线交叉的交点数

  + r条直线本身的交点方案

=（m-r）*r+r条之间本身的交点方案数（1<=r<=m）

可以得出状态转移方程（m-r）*r+r条之间本身的交点方案数（1<=r<=m）

dp需保存已解决的子问题的答案，在需要时再找出已求的答案。一般步骤：

1.找出最优解特征，并刻画出结构特征

2.递归定义出其最优值

3.以自底向上的方式计算出其最优值

4.根据计算最优值得到的信息，构造最优解。

如本题，可设个2维数组dp[21][192]来记录结点情况。当r条直线有j个结点时，

dp[i][(m-r)*r+j]可以表示i条直线情况。

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <queue>using namespace std;typedef long long LL;int dp[26][192];int main(){    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int i=0;i<=21;i++) dp[i][0]=1;    for(int i=1;i<=21;i++) //直线条数    {        for(int r=1;r<i;r++) //自由直线条数        {            for(int j=0;j<=i*(i-1)/2;j++)//交点数量            {                if(dp[r][j]==1)//判断这个交点数是否存在                {                    dp[i][r*(i-r)+j]=1;                }            }        }    }    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i=0;i<=n*(n-1)/2;i++)        {            if(dp[n][i]==1)            {                if(i==0)                    printf("0");                else                    printf(" %d",i);            }        }        printf("\n");    }    return 0;}