容斥原理

引入

在1到100的数中，有多少个数是2、3、5的倍数？

这是一道小学生数学题，通常我们都是先将1到100中2、3、5的倍数的个数分别算出来，求和，然后减去6（2*3）的倍数，10（2*5）的倍数，15（3*5）的倍数的个数，最后再加上30（2*3*5）的倍数个数，就可以得到最终的答案。

其实，将上面的计算方法抽象，就可以得到逆天的容斥原理：容斥原理又称排容原理，例如在两个集的情况时，我们可以透过将 |A|和 |B|相加，再减去其交集的基数，而得到其并集的基数。

先看一下上面这张图，整张图的面积 = A + B + C - A and B - B and C - A and C + A and B and C。

容斥原理的作用主要体现在：当直接求一个值比较难求时，我们就可以用容斥原理转换成另一个易求的数值。

例题

                                             矩形相交面积

题目描述
给出n（n <= 10）个矩形，求它们的总面积，注意会有相交部分。
这题是最基础的容斥原理(离散化更简单)，几个矩形相交，做的方法有多种。

思路：

1、染色

开一个（bool）二维数组，代表整个坐标系。在输入矩形时，用双重for循环把数组中对应矩形的部分定为true，结束时用ans记录数组内true的个数即可，但这种方法太过暴力：空间O（4*10^8），时间O（4*10^9）。

2、分割（离散化）

如图，将每一个矩形分成一些小矩形，并逐一判断这些小矩形的是否在大矩形中。时间复杂度：O(N^2)，空间复杂度：O(N^2)。

3、容斥原理

根据容斥原理，我们可以得到最后的ans就等于：

A的面积，B的面积，C的面积…… - A和B的重叠部分，B和C的重叠部分，A和C的重叠部分…… + A和B和C的重叠部分 …… ……

要实现枚举完这些状态，可以搜索，也可以二进制枚举。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;struct Map {    int x1, y1;    int x2, y2;}m[20], now;int a[20];bool G(int y) {    //cout<<y<<endl;    //printf("%d %d %d %d\n", now.x1, now.y1, now.x2, now.y2);    const int weixie = false;    now.x1 = max(now.x1, m[y].x1);    now.y1 = min(now.y1, m[y].y1);    now.x2 = min(now.x2, m[y].x2);    now.y2 = max(now.y2, m[y].y2);    //printf("%d %d %d %d\n", now.x1, now.y1, now.x2, now.y2);    if(now.x1 > now.x2 || now.y1 < now.y2)        return weixie;    return true;}int Get(const int x) {    if(x%2 == 0) return -1;    else return 1;}bool _sort(Map x, Map y) {    return (x.x1 < y.x1) || (x.x1 == y.x1 && x.y1 > y.y1);}void Change(int x) {    for( int t=x, s=1; t; t/=2, s++) {        a[s] = t % 2;    }}int main() {    freopen( "1865.in" , "r", stdin );    freopen( "1865.out", "w", stdout);    int n, ans = 0; scanf("%d", &n);    for( int i=1; i<=n; i++) {        scanf("%d %d", &m[i].x1, &m[i].y1);        scanf("%d %d", &m[i].x2, &m[i].y2);        //ans += (m[i].y1 - m[i].y2) * (m[i].x2 - m[i].x1);    }    sort(m+1, m+n+1, _sort);    for( int i=1; i<(1<<n); i++) {        Change(i);        int t = 0, s = 0;        for( int j=1; j<=n; j++)            if(a[j] == 1) {                s = j;                break;             }        for( int j=1; j<=n; j++)            if(a[j] == 1) t ++;        now.x1 = m[s].x1, now.x2 = m[s].x2;        now.y1 = m[s].y1, now.y2 = m[s].y2;        bool flag = true;        for( int j=1; j<=n; j++)            if(a[j] == 1) {                //printf("%d %d %d %d\n", now.x1, now.y1, now.x2, now.y2);                if(G(j) == false) {                    flag = false;                    break;                }                //printf("%d %d %d %d\n", now.x1, now.y1, now.x2, now.y2);            }        //printf("%d\n", flag);        if(flag != false)            ans += (now.y1 - now.y2) * (now.x2 - now.x1) * Get(t);    }    printf("%d\n", ans);    return 0;}

附：
计算矩形重复面积方法如下：

bool Get(int y) {    now.x1 = max(now.x1, m[y].x1);    now.y1 = min(now.y1, m[y].y1);    now.x2 = min(now.x2, m[y].x2);    now.y2 = max(now.y2, m[y].y2);    if(now.x1 > now.x2 || now.y1 < now.y2)        return false;    return true;}

详见下图：