用Sympy计算高次方程的判别式

　　经过一段时间的使用，笔者发现Sympy还是非常强大的存在！本次分享中，笔者将解决上一篇分享的结尾遗留的问题，那就是计算高次方程的判别式。
　　高次方程的判别式在数学上是个困难的问题，一般数学书上最多就讲到3次方程的判别式，笔者搜索了一下午只有在Wikipedia和Wolfram MathWorld上找到了四次方程的判别式公式。本文将展示2，3，4，5，6次方程的判别式（7次方程计算时间过长，故暂不展示）。
　　在数学中，n次方程f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0=0 的判别式定义为Δ=a2n−2n∏i,j,i<jn(xi−xj)2.因为5次及以上方程没有求根公式，故利用Sympy按照原始定义是无法求出判别式的！
　　但是！我们可以幸运地通过结式来求，因为Δ=(−1)n(n−1)2a−1nR(f,f′),其中R(f,f′)为f(x)与f′(x)的结式.(可以在http://www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdf 上找到结式的定义与相关证明)。
　　接下来，我们将利用Python代码来展示具体计算过程，其中最为关键的是结式矩阵的构建。

from sympy import *from sympy.abc import a,b,c,d,e,f,g,h,xinit_printing()def list_move(cof_lst,i): # cof_lst为系数列表，i为循环移动的位数    moved_lst = [cof_lst[(j-i)%len(cof_lst)] for j in range(len(cof_lst))]    return moved_lstdef make_matrix(cof_a,cof_b,n): # a,b为列表，n为多项式次数    matrix_lst = []    for i in range(n-1):        matrix_lst.append(list_move(cof_a,i))    for j in range(n):        matrix_lst.append(list_move(cof_b,j))    return matrix_lstif __name__ == '__main__':    dict_a = {}    dict_b = {}    dict_a['2'] = [a,b,c]    dict_b['2'] = [2*a,b,0]    dict_a['3'] = [a,b,c,d,0]    dict_b['3'] = [3*a,2*b,c,0,0]    dict_a['4'] = [a,b,c,d,e,0,0]    dict_b['4'] = [4*a,3*b,2*c,d,0,0,0]    dict_a['5'] = [a,b,c,d,e,f,0,0,0]    dict_b['5'] = [5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0,0,0]    dict_a['6'] = [a,b,c,d,e,f,g,0,0,0,0]    dict_b['6'] = [6*a,5*b,4*c,3*d,2*e,f,0,0,0,0,0]

　　需要将该文件保存在.ipython文件夹下，并运行，这样便于我们后面公式的Latex化展示。其中的make_matrix为构建结式矩阵，而多项式f(x)与f′(x) 的系数分别放在dict_a与dict_b中。
　　接着再编写一个程序，计算出2，3，4，5，6次方程的判别式。
　　

from dis_of_poly import *from sympy import *from sympy.abc import a,b,c,d,e,f,g,h,ximport mathimport datetimen = eval(input("Enter degree(2-8):"))d1 = datetime.datetime.now()#计算判别式cof_a = dict_a[str(n)]cof_b = dict_b[str(n)]dis_matrix = Matrix(make_matrix(cof_a, cof_b, n))s = n*(n-1)/2if s%2 == 0:     result = simplify(1/a*dis_matrix.det())else:    result = simplify(-1/a*dis_matrix.det())#输出    d2 = datetime.datetime.now()    print("Run successfully!一共用时：",d2-d1)

这个文件的运行依赖于上一个Python文件，并将结果储存在result变量中。测试员只需输入方程次数，运行完后再输入result即可查看其判别式。
　　2次方程的判别式：
　　
　　
　　3次方程判别式：
　　
　　4次方程判别式：
　　
　　可以看到4次方程的判别式已经非常复杂了，更不用说5，6次方程了，也不便在此展示，而7次方程的计算时间可能要很久，笔者正在测试中。
　　以上运行的结果，笔者已经放在码云网站上，欢迎有兴趣的同学查阅！当然，也希望大家能提出建设性意见。

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　　本次分享到此结束，欢迎交流与批评。具体代码及运行结果可查看：http://git.oschina.net/Jclian91/PanBieShi . Have a nice dream tonight~~