高数 08.03 齐次方程

§第八章第三节齐次方程

会识别齐次方程，会求解

齐次方程的定义

形如dydx=φ(yx)的方程叫做齐次方程
解法:令u=yx,则y=ux,dydx=u+xdudx,代入原方程:u+xdudx=φ(u)分离变量:duφ(u)−u=dxx两边积分,得:∫duφ(u)−u=∫dxx积分后再用yx代替u,便得原方程的通解.

例1.解微分方程y′=yx+tanyx.
解:令u=yx,则y′=u+xu′,代入原方程得:u+xu′=u+tanu分离变量:cosusinudu=dxx两边积分:ln|sinu|=ln|x|+ln|C|,即sinu=Cx故原方程通解为sinyx=Cx(C为任意常数)(当C=0时,y=0也是方程的解)

例2.解微分方程(y2−2xy)dx+x2dy=0.
解:(y2−2xy)dx=−x2dydydx=−y2−2xyx2=2yx−(yx)2令u=yx,则有u+xu′=2u−u2分离变量:duu2−u=−dxx即:(1u−1−1u)du=−dxx积分得ln|u−1u|=−ln|x|+ln|C|u−1u=Cx代回原变量得通解x(y−x)=Cy(C为任意常数)说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在求解过程中丢失了

例3.解微分方程(x+2y)dx−xdy=0
解:dydx=1+2yx令u=yx,u+xu′=1+2udu1+u=dxx(x≠0,y≠−x)积分得:ln|1+u|=ln|x|+ln|C|1+u=Cx1+yx=Cxx+y=Cx2(C为任意常数)(x=0,y=−x也是方程的解)