树链

树链剖分（heavy path decomposition，轻重路径剖分），我个人认为，相比起称之为一种“算法”，更像是一种处理树的相关问题时的一种方法，技巧。
其实，真正的树链剖分，应该是套个线段树进行维护的。不过，那个我并不会。所以这里写的是“树链”，真实面目其实应该是某种启发式合并。

首先，定义结点的 size 值为以该结点为根的子树的结点数。
给定一棵有根树，对于每个非叶子结点 u，设 u 的子树中 size 最大的子树的树根为 v，则标记 (u,v) 为重边，u 向其他儿子的边均为轻边，如下图所示。

根据上面的定义，只需一次 DFS 就能把一棵有根树分解成若干重路径（重边组成的路径）和若干轻边。

路径剖分有两条重要定理：

1. 对于 u 的子结点 v，当 (u,v) 为轻边时，size(v)<size(u)÷2。
   理由：根据定义，所有非叶结点往下都有一条重边。不妨假设 size(v)≥size(u)÷2，则对于 u 向下的重边 (u,v′) 来说，size(v′)≥size(v)≥size(u)÷2，可得 size(u)≥1+size(v)+size(v′)≥size(u)+1，与假设矛盾。
2. 由定理 1 得，对于任意非根结点 u，在 u 到根的路径上，轻边和重路径的条数均不超过 log2n，因为每碰到一条轻边，size 值就会减半。

这样，在处理一类统计子树相关问题时，可以采用如下策略：

• 从所有叶子结点出发向上考察
• 每当到达一个结点时，要计算其各子树对当前总子树的答案贡献。对于重儿子（以重边连接的儿子），直接将其答案累加。对于轻儿子，dfs暴力统计。

对于重儿子，显然计算效率会比较高。但轻儿子的暴力统计呢？这样会不会导致超时？

其实是不会的。根据定理 2 可知，每个结点到根结点的路径上最多不会存在超过 log2n 条轻边，即，每个结点最多被统计 log2n 次。这样，总的时间复杂度其实只有 O(nlog2n)。而对于真正的套上线段树的树链剖分，由于线段树的操作也是 log 级别的，因此复杂度还要再套一个 log，为 O(nloglogn)。

直接这样讲会感觉很抽象，所以还是要通过例题来说明。详见《树》解题报告。