排序算法二：快速排序算法原理以及MATLAB与Python实现

今天继续学习排序算法。今天的主角是快速排序算法。

1. 快速排序基本原理

快速排序是C.R.A.Hoare于1962年提出的一种划分交换排序。它采用了一种分治的策略，通常称其为分治法(Divide-and-ConquerMethod)。

该方法的基本思想是：

1．先从数列中取出一个数作为基准数。

2．分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。

3．再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。

举例说明：

这里有一个待排序的序列：a=[72 6 57 88 60 42 83 73 48 85]

按照以上的思想，手动操作了一次这个思想：

上面的过程就是一次排序，将所有的小于选定的数全部放在了左边，全部大于选定的数放在了其右边。然后再分别对这两边的子序列进行相同的操作。知道最后需要操作的子序列中只有一个数。再排序结束。

2.MATLAB 实现

依据上面的思想对其进行代码实现。显然，对待子序列的操作最好就是使用过递归进行。

自定义快速排序函数 myQuickSort

function a=myQuickSort(a,leftIndex,rightIndex)% a是待排序序列%leftIndex和rightIndex是开始的左右两个边界%%----------------------------------------------------------%%% if leftIndex>rightIndex%     break;% endif leftIndex<rightIndex    i=leftIndex;    j=rightIndex;    temp=a(i);%选定的这个数挖掉，相当于挖坑    while i<j        while (i<j)&&(a(j)>=temp)%从右往左，找到第一个小于设定的数，            j=j-1;        end        a(i)=a(j);%将找到的第一个小于设定的数填坑到最开始挖的坑里面去        while (i<j)&&(a(i)<=temp)%从做到由，找到第一个大于选定的数            i=i+1;        end        a(j)=a(i);%将找到的第一个大于选定的数填入上一步挖的坑里面去%     if i==j%         a(j)=temp;%     end    end    a(j)=temp;%最后，i=j，将选定的数再填到上一步挖的坑里面去    a=myQuickSort(a,leftIndex,j-1);%对左边序列进行递归    a=myQuickSort(a,i+1,rightIndex);%对右边序列进行递归endend

测试函数

clcclearclose alla=[72 6 57 88 60 42 83 73 48 85];leftIndex=1;rightIndex=size(a,2);disp('未排序的序列为：')disp(a)a=myQuickSort(a,leftIndex,rightIndex);disp('快速排序之后的序列为：')disp(a)

程序的输出为：

未排序的序列为：    72     6    57    88    60    42    83    73    48    85快速排序之后的序列为：     6    42    48    57    60    72    73    83    85    88

可以看出来，效果还不错。
再换一个有相同元素的序列试试：

    72     6    57    88    60    42    83    73    48    85     6快速排序之后的序列为：     6     6    42    48    57    60    72    73    83    85    88

排序正确！！！

3.Python实现

#定义一个输出函数，将序列分成两部分的那个元素的索引def findMiddleIndex(a,left,right):    if left<right:        i=left        j=right        temp=a[i]        while i<j:            while i<j and a[j]>=temp:                j-=1            a[i]=a[j]            while i<j and a[i]<=temp:                i+=1            a[j]=a[i]        a[j]=temp        middleIndex=i        return middleIndex#定义快速排序函数def myQuickSort(a,left,right):    if left<right:        middleIndex=findMiddleIndex(a,left,right)        myQuickSort(a,left,middleIndex-1)        myQuickSort(a,middleIndex+1,right)    return a    #测试部分if __name__=='__main__':#生成随机序列    import random    a=[]    aSize=a.__len__()    while 1:        aSize=a.__len__()        if aSize>=20:            break        else:            temp=int(random.randint(1,1000))            a.append(temp)    left=0    right=a.__len__()-1    print(myQuickSort(a,left,right))

排序正确！！！

4.快速排序算法的时间复杂度分析

已知递归算法的时间复杂度公式为：T(n)=aT[nb]+f(n)

最优时间复杂度是每次选定的数正好可以将序列分为一半，那么，就可以有：
第一次递归：

T(n)=2T[n2]+n

第二次递归：n=n2

T(n)=2{2T[n2×2]+n2}+n

=22T[n22]+2n

第三次递归：n=n2×2

T(n)=2{2{2T[n2×2×2]+n2×2}+n2}+n

=23T[n23]+3n

⋮

⋮

⋮

第m次递归（假定此时递归结束）：n=n2m−1

T(n)=2mT[1]+mn

也就是说：

T[n2m]=T[1]

所以有：

2m=n⇒⇒⇒m=log2n

所以，

T(n)=nT[1]+nlog2n=n+nlog2n

当n>=2时，

log2n>=1⇒⇒nlog1n>=n

所以其时间复杂度最终为：

T(n)=nlog2n