最小生成树

数据结构课本上图的难点在深搜和广搜之后的就是最小生成树了 主要涉及到两种算法 1普里姆算法 2克鲁斯卡尔算法

这里以hdu的1863为例 通过多种算法的代码实现

畅通工程

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Problem Description

省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。

 

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 100 )；随后的 N 
行对应村庄间道路的成本，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简单起见，村庄从1到M编号。当N为0时，全部输入结束，相应的结果不要输出。

 

Output

对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的最低成本。若统计数据不足以保证畅通，则输出“?”。

 

Sample Input

3 31 2 11 3 22 3 41 32 3 20 100

 

Sample Output

3?

 

Source

浙大计算机研究生复试上机考试-2007年

1普里姆算法（连接矩阵图结构）

算法描述：先找一个初始顶点 并把这个点加入到一个自定的虚拟集合U中 找找到与U集合相连的路中权值最短的路径 （此时U集合只有一个顶点 就是找与这个顶点相连的最短路径） 这条路径就是最小生成树中的一个路径 再把这个路径的另一端的点加入到集合U中 然后代码中非常重要的一步是更新路径 代码中更新的路径是把遍历到的未加入到集合U的点到顶点的路径更改为最短的这个点到集合U中的点的路径（听起来有点别扭 确实不太好用语言描述O__O "…） 等到所有的点都加入了集合U此时图的最小生成树也就查找完毕了

#include<bits/stdc++.h>#include<cstdio>#include<iostream>#define INF 1e9using namespace std;int map1[1005][1005],visit[1005],dis[1005];int m;//因为prim函数需要调用m 所以要定义为全局变量int prim(){    for(int i=1;i<=m;i++)//遍历所有的点和第一个点之间的距离    {        dis[i]=map1[i][1];//将这个距离存到dis数组中    }    dis[1]=0;//第一个点和他本身的距离为0；    visit[1]=1;//把第一个点进行标记 visit数组为表数组 标记是否被访问过 也可以开成bool类型    int sum=0;//当前树的和    for(int i=1;i<=m-1;i++)//    {        int temp=INF,pos;//pos代表当前处理的点 temp标记当前已知的最短路径        for(int j=1;j<=m;j++)//遍历所有的点        {            if(!visit[j]&&temp>dis[j])//如果当前的点未被访问 且路径短于已知的最短路径            {                temp=dis[j];//更新最短路径                pos=j;//标记当前的点            }        }        if(temp==INF)//如果此点无法连接 则跳出             return 0;        visit[pos]=1;//对访问完的点进行标记        sum+=dis[pos];//总得路径 加上这个求得的最小的的值        for(int j=1;j<=m;j++)        {            if(!visit[j]&&map1[pos][j]<dis[j]&&map1[pos][j]!=INF)//更新那些未被访问的点的相关路径 用段路径代替长路径            {                dis[j]=map1[pos][j];            }        }    }    return sum;}int main(){    int n;    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)    {      int u,v,w;      memset(map1,0x3f,sizeof(map1));      memset(dis,0x3f,sizeof(dis));      memset(visit,0,sizeof(visit));      for(int i=1;i<=n;i++)      {          scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);          map1[u][v]=map1[v][u]=w;//通过矩阵连接图      }      int ans=prim();      if(ans>0)        printf("%d\n",ans);      else        printf("?\n");    }    return 0;}

（连接表结构）

步骤和连接矩阵的做法也是相似的 只不过因为存储图的方式改变了 所以在处理图的时候的步骤也就不同了

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;struct Edge{    int v,w;//v表示边端点，另一个端点已知；w表示边权值，也表示v到最小生成树的距离    Edge(int vv=0,int ww=INF):v(vv),w(ww) {}    bool operator < (const Edge& a) const     {        return w>a.w;    }}u;int m,n,dis[105],ans,cnt;//dis表示各顶点到最小生成树的距离bool vis[105];//vis表示各顶点是否已被加入最小生成树vector<vector<Edge> > g(105);//邻接表bool prim() {//prim算法求最小生成树    int i,j,v,w;    priority_queue<Edge> q;    q.push(Edge(1,0));    ans=cnt=0;    memset(vis,false,sizeof(vis));    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));    while(cnt<n&&!q.empty())         {        do {            u=q.top();            q.pop();        }while(vis[u.v]&&!q.empty());        if(!vis[u.v])         {            ++cnt;            ans+=u.w;            vis[u.v]=true;            for(i=0,j=g[u.v].size();i<j;++i)                if(!vis[v=g[u.v][i].v]&&dis[v]>(w=g[u.v][i].w))                 {                    dis[v]=w;                    q.push(Edge(v,w));                }        }    }    return cnt==n;}int main() {    int i,w,s,e;    while(scanf("%d%d",&m,&n),m)         {        g.clear();        g.resize(n+1);        for(i=0;i<m;++i)         {            scanf("%d%d%d",&s,&e,&w);            g[s].push_back(Edge(e,w));            g[e].push_back(Edge(s,w));        }        if(prim())            printf("%d\n",ans);        else            printf("?\n");    }    return 0;}

2克鲁斯卡尔算法

将已知的图变成只有n个点而没留联通的非连通图T T中的每个顶点自称一个连通分量 在图中选择权值最小的边 如果该边在不同的连通分量上 那么就将这条边加入到T中 然后对比已知的路径 选择最短的留下 然后一直重复这一过程 直到T中所有的点都在一个连通分量上 用到了并查集的思想 关于并查集的思想可戳：并查集详解

#include <stdio.h>  #include <algorithm>  using namespace std;  struct EDGE  {      int u,v,cost;  }eg[100001];  int n,m,father[100001];    bool cmp(EDGE e1,EDGE e2)  {      return e1.cost<e2.cost;  }    // 并查集 初始化函数  void Init( int m )  {      int i;      for(i=1;i<=m;i++)          father[i]=i;  }  // 并查集 查找函数  int Find(int x)  {      while(father[x]!=x)          x=father[x];      return x;  }  // 并查集 合并函数  void Combine(int a,int b)  {      int temp_a,temp_b;      temp_a=Find(a);      temp_b=Find(b);        if(temp_a!=temp_b)          father[temp_a]=temp_b;  }    // 最小生成树 Kruskal 算法  int Kruskal( void )  {      EDGE e;      int i,res;      sort(eg,eg+n,cmp);      // 并查集 初始化      Init(m);        // 构建最小生成树      res=0;      for( i=0;i<n;++i )      {          e=eg[i];          if( Find(e.u)!=Find(e.v) )          {              Combine(e.u,e.v);              res+=e.cost;          }      }      return res;  }    int main()  {      int i,ans;      bool bl;      while( scanf("%d%d",&n,&m) && n )      {          for( i=0;i<n;++i )              scanf("%d%d%d",&eg[i].u,&eg[i].v,&eg[i].cost);          ans=Kruskal();                    // 是否所有的点都在同一个集合          bl=true;          for(i=2;i<=m;++i)              if( Find(1)!=Find(i) )              {                  bl=false;                  break;              }                        if( bl )    printf("%d\n",ans);          else    printf("?\n");      }      return 0;  }