一维二维树状数组区间加与区间求和
来源:互联网 发布:知乎解除手机号绑定 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 18:17
在一般的情况下,对于区间加与区间求和,我们一般使用线段树。
树状数组在一般情况下,只能够单点查询,修改。
但是我们可以通过差分做到区间加或者区间求和(一维)
我们对于一个区间l,r,要求他们的和a[l]….a[r]。
设b[i]表示相邻两点之间的差(b[i]=a[i]-a[i-1]),那么对于sum(a[l]..a[r])
明显有sum(a[l]..a[r])=(b[1]+b[2]+….+b[l])+(b[1]+……b[l+1])+…..+(b[1]+…..b[r])
为了方便起见假设l=1,r=n,那么上面的式子可以化简为:
sum(b[1]…b[n])*(n+1)-sum(b[1]*1+b[2]*2+…b[n]*n)
至于为什么,自己手动化一下就知道了。
然后就把区间求和转化为维护单点的前缀和与b[i]*i.
区间加的原理相同,只不过把b的定义从差值改为增量而已。
代码如下,来自
http://www.cnblogs.com/zcyhhh/p/7142676.html?utm_source=itdadao&utm_medium=referral
#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;long long n,m;long long c1[200011],c2[200011];long long a[200011],b[200011]; long long read(){ long long x=0,f=1;char c=getchar(); while (!isdigit(c)) {if (c=='-')f=-1;c=getchar();} while (isdigit(c)) {x=x*10+c-'0';c=getchar();} return x*f;}long long lowbit(long long x){ return x&-x;}void update1(long long pos,long long v){ while (pos<=n) { c1[pos]+=v;pos+=lowbit(pos); }}void update2(long long pos,long long v){ while (pos<=n) { c2[pos]+=v;pos+=lowbit(pos); }}long long query1(long long pos){ long long sum=0; while (pos) { sum+=c1[pos];pos-=lowbit(pos); } return sum;}long long query2(long long pos){ long long sum=0; while (pos) { sum+=c2[pos];pos-=lowbit(pos); } return sum;}int main(){ n=read(); for (long long i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); b[1]=a[1]; for (long long i=2;i<=n;i++) b[i]=a[i]-a[i-1]; for (long long i=1;i<=n;i++) update1(i,b[i]),update2(i,b[i]*i); m=read(); for (long long i=1;i<=m;i++) { long long d=read(),x=read(),y=read(),v; if (d==1) { v=read();update1(x,v);update1(y+1,-v);update2(x,x*v);update2(y+1,-(y+1)*v); } else { long long tmp1,tmp2;tmp1=(y+1)*query1(y)-query2(y);tmp2=x*query1(x-1)-query2(x-1); cout << tmp1-tmp2 << "\n"; } } return 0;}
二维的稍微复杂一些,但是并不难,这里拿bzoj3132上帝造题的七分钟作为例子,题意是给出一个矩阵,有区间加和区间求和的操作。
这题也可以用二维线段树或者树套树做,但是代码常数大,而且比赛中容易挂= =代码复杂度高其实比赛中好像二维树状数组的应用更少(捂脸)。主要用途是卡常,个人感觉思想不错,有可能会有题目借鉴,所以需要掌握。
总共四个树状数组,用结构体封装一下效果会好很多:
代码(bzoj3132)
#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)using namespace std;const int N=2105;struct bit{ int a[N][N]; inline int lowbit(int x) { return x&(-x); } inline void add(int x,int y,int t) { int i,j; for(i=x;i<N;i+=lowbit(i)) { for(j=y;j<N;j+=lowbit(j))a[i][j]+=t; } } inline int get(int x,int y) { int ans=0; int i,j; for(i=x;i>0;i-=lowbit(i)) { for(j=y;j>0;j-=lowbit(j))ans+=a[i][j]; } return ans; }}a,b,c,d;int n,m;inline void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int t){ a.add(x1,y1,t),a.add(x1,y2+1,-t); a.add(x2+1,y1,-t),a.add(x2+1,y2+1,t); b.add(x1,y1,t*x1); b.add(x2+1,y1,-t*(x2+1)); b.add(x1,y2+1,-t*x1); b.add(x2+1,y2+1,t*(x2+1)); c.add(x1,y1,t*y1); c.add(x2+1,y1,-t*y1); c.add(x1,y2+1,-t*(y2+1)); c.add(x2+1,y2+1,t*(y2+1)); d.add(x1,y1,t*x1*y1); d.add(x2+1,y1,-t*(x2+1)*y1); d.add(x1,y2+1,-t*x1*(y2+1)); d.add(x2+1,y2+1,t*(x2+1)*(y2+1));}inline int get(int x,int y){ return a.get(x,y)*(x+1)*(y+1)-b.get(x,y)*(y+1)-(x+1)*c.get(x,y)+d.get(x,y);}inline int get(int x1,int y1,int x2,int y2){ return get(x2,y2)-get(x2,y1-1)-get(x1-1,y2)+get(x1-1,y1-1);}int main(){ char op[2]; scanf("%s",op); scanf("%d%d",&n,&m); while (scanf("%s",op)!=-1) { int x1,y1,x2,y2,k; if (op[0]=='L') { scanf("%d%d",&x1,&y1); scanf("%d%d%d",&x2,&y2,&k); add(x1,y1,x2,y2,k); } else { scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2); printf("%d\n",get(x1,y1,x2,y2)); } }}
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