组合数的奇偶性

组合数的奇偶性判定方法为:

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。 (P是旧用法，现在教材上多用A，Arrangement)

  公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。

组合数的奇偶性判定方法为:

  结论：

  对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

  证明：

  利用数学归纳法：

  由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);

  对应于杨辉三角：

  1

  1 2 1

  1 3 3 1

  1 4 6 4 1

  ………………

  可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，

  C(n,k)满足结论。

  1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：

  则有：(n-1)&k == k;

  (n-1)&(k-1) == k-1;

  由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1。

  现假设n&k == k。

  则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

  因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。

  所以得n&k != k。

  2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：

  则有：(n-1)&k != k;

  (n-1)&(k-1) != k-1;

  现假设n&k == k.

  则对于k最后一位为1的情况：

  此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。

  而对于k最后一位为0的情况：

  则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。

  相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。

  而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。

  则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。

  所以得n&k != k。

  由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。

  3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：

  则有：(n-1)&k == k;

  (n-1)&(k-1) != k-1;

  显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。

  所以k的末尾必有一部分形如：10;

  相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;

  相应的，k-1的对应部分为： 01;

  则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.

  所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)

  所以 n&k = k。

  4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：

  则有：(n-1)&k != k;

  (n-1)&(k-1) == k-1;

  分两种情况：

  当k-1的最后一位为0时:

  则k-1的末尾必有一部分形如: 10;

  相应的，k的对应部分为 : 11;

  相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)

  相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;

  所以n&k = k。

  当k-1的最后一位为1时:

  则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)

  相应的，k的对应部分为 : 10;

  相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)

  相应的，n的对应部分为 : 10;

  所以n&k = k。

  由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。

  综上，结论得证!

n&k是n（按位与）k的意思，比如说n=9,k=3,那么转化成二进制n=1001,k=0011,进行运算（都是1则为1，否则为0）后得到1，如果它和k相等，组合数则为奇数，否则为偶数，至于其中的道理是：根据二进制的运算法则，从后向前数，有几个0（不能有间断），就有几个偶数因子（这里就说是以2为因子吧），按位与的功能就是消0，当然根据组合公式，分子上的偶数因子不可能比分母上的少，但是如果相等的话，那么这个数就是一个奇数了，按位与的功能是0和1在一块就消1，那么如果想保留原有的k值，n转化成二进制后就要有许多个1（通俗一点），这样的话，他的偶数因子也会减少，经过证明，可以得到当n&k==k时，n!和k!(n-k)!的偶数因子一样多，就可以把它们消去，从而得到一个奇数。

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