poj 3233 Matrix Power Series
来源:互联网 发布:2017笔记本推荐 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/08 07:17
http://poj.org/problem?id=3233
Description
Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.
Input
The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.
Output
Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.
Sample Input
2 2 4
0 1
1 1
Sample Output
1 2
2 3
题目大意:给你一个矩阵A,算出 S = A + A^2 + A^3 + … + A^k.并输出矩阵S;
解题思路:由于这题的k比较的而时间只有3秒,除了算快速幂还要求累加,这样很容易超时,所以我们要想办法优化。这里我们可以用二分的方法来优化。
如:S(10) = A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5+ A^6 + A^7 + A^8 + A^9+ A^10;
= S(5) + A^5 *S(5);
S(5) = A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5;
= S(2) + A^3 + A^3*S(2);
S(2) = S(1) + A * S(1);
S(1) = A;
看到这,我们不难发现规律,那就是当k为奇数时s(k) = s(k/2)+A^(k/2+1)+A^(k/2+1)* s(k/2);
当k为偶数时 s(k) = s(k/2)+A^(k/2)* s(k/2);
利用这个规律就可以吧线性的时间复杂度简化为log(n)了。
具体代码实现:
#include <cstdio>using namespace std;struct Matrix{ int m[35][35];}a;int m;Matrix Mult(Matrix a,Matrix b,int n){ Matrix temp; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) temp.m[i][j] = 0; } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) for(int k=1;k<=n;k++) temp.m[i][j] = (temp.m[i][j]+(a.m[i][k]*b.m[k][j])%m)%m; } return temp;}Matrix Add(Matrix a,Matrix b,int n){ Matrix temp; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) temp.m[i][j] = 0; } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) temp.m[i][j] = (a.m[i][j]+b.m[i][j])%m; } return temp;}Matrix QuickPower(Matrix a,int n,int k){ Matrix ans,res; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) if(i==j)ans.m[i][j] = 1; else ans.m[i][j] = 0; res = a; while(k){ if(k&1) ans = Mult(ans,res,n); res = Mult(res,res,n); k>>=1; } return ans;}Matrix work(int n,int k)///核心代码,因为这里我们只要二分分到1时可以直接得到答案,所以直到k=1时返回到上一层,///然后判断这一层的k是计数还是偶数,按照各自的规则算出他们的值然后再返回到上一层,直到结束,这样就可以算出s(k)了。{ if(k == 1) return a; Matrix res = work(n,k/2); Matrix temp; if(k&1){ temp = Add(res,QuickPower(a,n,k/2+1),n); res = Add(temp,Mult(QuickPower(a,n,k/2+1),res,n),n); } else{ res = Add(res,Mult(QuickPower(a,n,k/2),res,n),n); } return res;}int main(){ int n,k; scanf("%d %d %d",&n,&k,&m); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a.m[i][j]); } Matrix S = work(n,k); for(int i=1;i<=n;i++) { printf("%d",S.m[i][1]); for(int j=2;j<=n;j++) printf(" %d",S.m[i][j]); printf("\n"); } return 0;}
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