动态规划选讲 8.15

地精部落【SDOI 2010】

题目：

• 求长度为N的排列中波动序列的数量。
• 若一个序列中，每个数都大于/小于它两侧的数，则其为一波动序列。若一数大于其两侧为波峰，小于其两侧为波谷。如：1324√，其中1和2是波谷；1243×
• N<=4200，答案对10^9取模。

题解：

1. 最直观的方法：设 f[i] 为长度为i的抖动序列总数。
2. 若将i插入到i-1的抖动序列中，则其只能是山峰。故需要记录抖动序列以波谷还是波峰开始。
3. 若将抖动序列翻转（对于每个数，k->i-k+1)，可得一抖动序列，且其开头属性翻转。
4. 设 f[i][j] 为长度为i，开头为[1,j]，且其为波谷的抖动序列数。
   则f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][i-j]（以j开头，长度i的抖动序列数）
5. f[i-1][i-j]：将序列翻转，可得开头为[j-1~i]波峰的抖动序列。
6. //此题卡空间，需要使用滚动数组。

打砖块

题目：

• 有n*m的砖块，k发子弹，每次可以打碎一个某一列最下面的砖块，并得分。有的砖块打碎后，可以得到一发子弹。
• 当砖块打完或子弹耗尽时，游戏结束。
• 求本次游戏中的最大得分。
• n,m,k<=100

题解：

1. 设f[i][j]，表示前i列，消耗j颗子弹的最大得分。
   | 1 |
   | 0 |
   | 0 |
2. 发现反例（如上）。考虑到除了最后打的一列，其他的都可以借一颗子弹。故设f[i][j][0/1]表示前i列，消耗j颗子弹，其中借子弹([0])/不借子弹([1])的最大得分
3. 转移时枚举第i列消耗多少子弹，该列借/不借子弹，然后从前i-1的状态进行转移。发现需要预处理：每一列消耗j颗子弹（借/不借子弹）两种情况的得分。
4. f[i,j][0]:=max(f[i-1,k][0/1]+sum0[i,j-k])
5. 除了最后一列均可借子弹，最后输出不借子弹的最大得分。

（另一个）打砖块

题目：

• 如图，想要敲掉深处的方块的话，必须先将覆盖其的方块敲掉。方块敲掉后可得一定得分。
• 从n(<=50)层砖块中敲掉m(<=500)块砖，求最大得分。

题解：

1. 模型简化
   
   我们能够发现，取8的前提是取上一行的2以及去其前面的2
   取第三行最右边的3的前提是取上一行所有以及最上面一行，和他前面的所有元素。

2. 当前层的数能不能取只与上一层取有关。
   f[i][j][k]表示前i层取j个，当前层取k个的最优值。
   那么显然有f[i][j][k]=f[i-1][j-k][p]
   p=k-1…..n;

3. 后面的递推就比较简单了。
   但是需要注意赋边界。
   并且k要从0开始枚举。
   要对无效状态进行判断，不然初值要赋为一个很大的负值。

Tree【POJ 1848】

题目：

• 给定一个n个点的无根树，问至少需添多少条边，才可使每个节点属于且仅属于一个圈。每个圈至少有三个节点。
• 若无解，输出-1，否则输出添加的边数。
• 3<=n<=100000

题解：

1. 列表内容

Painting the balls【SGU183】

题目：

• 在n（n<=10000）个球中，给若干个球涂色，每个球涂色的代价为Ci。
• 使得任意连续m（m<=100）个球中，有至少两个球被涂了色.

题解：

1. 列表内容

CF 611D

题目：

• 给一个长度为n(1<= n <= 5000)的只含有数字的字符串，字符串首位不为0;
• 将字符串分割成数值严格递增的子串，并且每一个子串不能以0开头
• 这样的分割方式有多少种？

题解：

1. 列表内容

洪水（概率DP）

题目：

• 乡下有n(n<=8)个小村庄，用m条双向道路连接起来，每两个村庄最多用一条道路直接连接
• 最近村庄闹涝灾，洪水让这些道路各有一定的概率被淹没，而这些道路被淹没与否是相互独立的。
• 你的任务是计算出所有村庄连在一起(即：从任意一个村庄都可以经过未被淹没的道路到达其他所有村庄)的概率有多大。

题解：

1. 列表内容

K个联通块【HDU 5713】

题目：

• 在n（n<=10000）个球中，给若干个球涂色，每个球涂色的代价为Ci。
• 使得任意连续m（m<=100）个球中，有至少两个球被涂了色.

题解：

1. 列表内容

管道取珠【NOI-2009】

题目：

• 有一张无重边的无向图， 求有多少个边集，使得删掉边集里的边后，图里恰好有K 个连通块。
• 1≤K≤N≤14

题解：

1. 列表内容

字符串游戏

题目：

• 给定一个由小写字母构成的字符串， 每次操作可以选择其中相同字母的一段消除，消除之后原来字符串的两边向中间靠
• 求最少要操作多少次可以将字符串完全消除。
• N<=100

题解：

1. 列表内容

艺术馆的火灾

题目：

• 在一个2*N的矩阵中选取K个子矩阵, 使得取值最大. 子矩阵的大小可以使1*L or 2*L, 其中1和2表示矩阵高度, L表示矩阵长度(1<=L<=N);
• N<=100,K<=10

题解：

1. 列表内容

树上路径权值和

题目：

• 一棵n个点边带权树，输出以某一点为端点所有路径的权值和。
• n<=100000

题解：

1. 列表内容

Fire【POJ 2152】

题目：

• 给你一棵n个点的树，边上权值表示距离，一个点上可以建消防站，花费为costi，一个节点要么建消防站，要么周围di距离内必须有一个消防站，求覆盖全图的最小花费。
• n<=1000

题解：

1. 列表内容

Three Trees

题目：

• 给你三棵树，要求你在三棵树中加入两条边，使之形成一棵新树。我们定义树的权值为树中任意两点之间的距离之和，询问通过加边最大能得到权值为多大的新树。
• 三棵树的初始大小分别为n1，n2，n3
• 注意加入两条边后必须构成一棵新的树
• 1 ≤ n1，n2，n3 ≤ 105

题解：

1. 列表内容

树上染色【HAOI-2015】

题目：

• 有一棵n个点的边带权树，每个点都是白点，然后你要选择k个点将其染黑。一棵树的价值是白点两两间的距离和加黑点两两间的距离和。
• 最大化价值，然后输出。
• n≤2000

题解：

1. 列表内容