【动态规划32讲】第三节 动态规划入门

例题2
合唱队形                 来源：NOIP2004(提高组) 第一题

     N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
    合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，  则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
    你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
【输入文件】
    输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。
【输出文件】
    输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
【样例输入】
8
186 186 150 200 160 130 197 220
【样例输出
4
【数据规模】
对于50％的数据，保证有n<=20；
对于全部的数据，保证有n<=100。
【问题分析】

  出列人数最少，也就是说留的人最多，也就是序列最长。

这样分析就是典型的最长下降子序列问题。只要枚举每一个人站中间时可以的到的最优解。显然它就等于，包括他在内向左求最长上升子序列，向右求最长下降子序列。

我们看一下复杂度：

计算最长下降子序列的复杂度是O（N2），一共求N次，总复杂度是O（N3）。这样的复杂度对于这个题的数据范围来说是可以AC的。但有没有更好的方法呢？

其实最长子序列只要一次就可以了。因为最长下降（上升）子序列不受中间人的影响。

只要用ｆ［ｉ］求一次最长上升子序列，ｓ［ｉ］求一次最长下降子序列。这样答案就是N-max(f[i]+s[i]-1).

 复杂度由O（N3）降到了O（N2）。

【源代码】

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int n;
 int a[101],f[101],s[101];
 cin>>n;
 for(int i=0;i<n;i++)
  cin>>a[i];
 fill_n(f,n+1,1);
 fill_n(s,n+1,1);
 for(int i=1;i<n;i++)                    //求数组最长上升子序列
  for(int j=0;j<i;j++)
   if(a[j]<a[i]&f[j]+1>f[i])
    f[i]=f[j]+1;
 for(int i=n-1;i>=0;i--)               //求反数组最长上升子序列
  for(int j=n-1;j>i;j--)
   if(a[j]<a[i]&s[j]+1>s[i])
    s[i]=s[j]+1;
 int ans=0x7fffffff;
 for(int i=0;i<n;i++)
  if(n-f[i]-s[i]+1<ans)
   ans=n-f[i]-s[i]+1;
 cout<<ans<<endl;
}