扩展欧几里得

【1】欧几里得算法

任务：

• 求a和b的最大公约数( gcd )

算法：

• gcd( a,b )=gcd( b,a%b ),不断迭代，直到b=0，a就是最大公约数

原理：

• a=by+p
• a为最小公约数的倍数，b为最小公约数的倍数，故p也为最小公约数的倍数

代码模板：

int gcd(int a,int b)     {           if(a%b!=0) return gcd(b,a%b);        else return b;    }

【2】扩展欧几里得

任务：

• 求出a，b的最大公约数，且求出x，y满足ax+by=gcd( a,b )

算法：

（ a>b）
1. 当b=0时，gcd( a,b )=a。此时x=1，y=0
2. b!=0时

• a·x1+b·y1=gcd( a,b )

• b·x2+(a%b)·y2=gcd( b,a%b )

• a·x1+b·y1= b·x2+(a%b)·y2

• ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=bx2+ay2-(a/b)*by2 ;

• ax1+by1=ay2+b(x2-(a/b))y2 ;

• ∴ x1=y2；y1=(x2-(a/b))·y2

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是递归定义了，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码模板：

void extend_Eulid(int a,int b){    if(b == 0){        x = 1;        y = 0;        q = a;               //公约数为q    }    else{        extend_Eulid(b,a%b);   //递归        int t = x;        x = y;                 //求出x        y = t - a/b*y;         //求出y      } }

…..END