后缀树

后缀树

简介：后缀树，就是把一串字符的所有后缀保存并且压缩的字典树。相对于字典树来说，后缀树并不是针对大量字符串的，而是针对一个或几个字符串来解决问题，

比如字符串的回文子串，两个字符串的最长公共子串等等，后面应用会说。

性质：一个字符串构造了一棵树，树中保存了该字符串所有的后缀。

操作：就是建立和应用。

1.建立后缀树

比如单词banana，它的所有后缀显示到下面的。1代表从第一个字符为起点，终点不用说都是字符串的末尾。

以上面的后缀，我们建立一颗后缀树。如下图，为了方便看到后缀，我没有合并相同的前缀

                                            （3）

基于之前前缀树的学习，可写出插入后缀树代码的编写

void SInsert(TrieNode *root , char *word){//后缀树插入int length =strlen(word);for(int i=0;i<length;i++){char *a=word+i;        Insert(root, a);     }}void Insert(TrieNode *root , char *word)  {      TrieNode *location=root;    while(*word){        if(location->next[*word-'a']==NULL){            TrieNode *newNode=new TrieNode();            newNode->isStr=false;            memset(newNode->next,NULL,sizeof(newNode->next));//初始化            location->next[*word-'a']=newNode;          }        location=location->next[*word-'a'];//location指向字符串在前缀树中下一个位置        word++; //当前字符在字符串中位置    }    //字符串已经全部添加到前缀树    //标识前缀树到该节点位置为完整字符串    location->isStr=true;}  

前面简介的时候我们说了，后缀树是把一个字符串所有后缀压缩并保存的字典树。

压缩一会再说，简介里面说了是字典树，所以我们把字符串的所有后缀还是按照字典树的规则建立，就成了上图（3）的样子。

注意还是和字典树一样，根节点必须为空。

下面说下更加节省空间的方案，也就是上面提到的压缩。

                                                                （4）

因为有些后缀串可能是单串，并不和其他的共用同一个前缀。

比如图（4）的banana这个后缀串，直接可以用1来表示起点，终点是默认的。

图（4）的a节点后面有两个节点标记3和5是右边字符数组的下标，对应着a->3-7，a->5-7。因为a是共有的前缀。

2.重点说下后缀树的应用,它能解决大多数字符串的问题

<1.查找某个字符串s1是否在另外一个字符串s2中

这个很简单，如果s1在字符串s2中，那么s1必定是s2中某个后缀串的前缀。

理解以下后缀串的前缀这个词，其实每个后缀串也就是起始地点不同而已，前缀也就是从开头开始结尾不定。

后缀串的前缀就可以组合成该原先字符串的任意子串了。

比如banana，anan是anana这个后缀串的前缀。

代码

bool qianzhuiSearch(TrieNode *root , char *word)  {   int length =strlen(word);    TrieNode *location=root; for(int i=0;i<length;i++){        if(location->next[*word-'a']==NULL){return 0;}else {    location=location->next[*word-'a'];    word++;}}    return 1;}

<2.指定字符串s1在字符串s2中重复的次数

看图（3），比如说banana是s1，an是s2，那么计算an出现的次数实际上就是看an是几个后缀串的前缀。

上图的a节点是保存所有起始为a字母的后缀串，我们看a字母后的n字母的引用计数即可。

核心代码

int ncount(TrieNode *location, int &count){if(location->isStr==true){         //如果这个点是一个后缀字符串，count++count++;}for(int i=0;i<26;i++){    if(location->next[i]!=NULL){     TrieNode *now=location;   //定义一个now是此代码核心，不能直接用location，因为是它是指针，会影响后续循环递归的过程   now=now->next[i];   count=ncount(now, count);  //递归}}return count;}int countqianzhuiSearch(TrieNode *root , char *word)  {   int length =strlen(word);    TrieNode *location=root; for(int i=0;i<length;i++){   //找到以“需要计数的字符串”为头后缀树，然后以此向后查找后缀树数，就是重复数        if(location->next[*word-'a']==NULL){return 0;}else {    location=location->next[*word-'a'];    word++;}}int count=0;TrieNode *now=location;    count=ncount(now, count);return count;}

在此，列出完整代码

#include<iostream>#include<string>using namespace std;#define MAX 26 //字符集大小class TrieNode{ public:    bool isStr; //标识是否是一个完整的字符串      TrieNode *next[MAX];  }; /*插入*/  void Insert(TrieNode *root , char *word)  {      TrieNode *location=root;    while(*word){        if(location->next[*word-'a']==NULL){            TrieNode *newNode=new TrieNode();            newNode->isStr=false;            memset(newNode->next,NULL,sizeof(newNode->next));//初始化            location->next[*word-'a']=newNode;          }        location=location->next[*word-'a'];//location指向字符串在前缀树中下一个位置        word++; //当前字符在字符串中位置    }    //字符串已经全部添加到前缀树    //标识前缀树到该节点位置为完整字符串    location->isStr=true;}  //查找  bool Search(TrieNode *root , char *word)  {       TrieNode *location=root;     while(*word&&location!=NULL){      location=location->next[*word-'a'];      word++;    }    return(location!=NULL&&location->isStr );}//前缀查找bool qianzhuiSearch(TrieNode *root , char *word)  {   int length =strlen(word);    TrieNode *location=root; for(int i=0;i<length;i++){        if(location->next[*word-'a']==NULL){return 0;}else {    location=location->next[*word-'a'];    word++;}}    return 1;}int ncount(TrieNode *location, int &count){if(location->isStr==true){         //如果这个点是一个后缀字符串，count++count++;}for(int i=0;i<26;i++){    if(location->next[i]!=NULL){     TrieNode *now=location;   //定义一个now是此代码核心，不能直接用location，因为是它是指针，会影响后续循环递归的过程   now=now->next[i];   count=ncount(now, count);  //递归}}return count;}int countqianzhuiSearch(TrieNode *root , char *word)  {   int length =strlen(word);    TrieNode *location=root; for(int i=0;i<length;i++){   //找到以“需要计数的字符串”为头后缀树，然后以此向后查找后缀树数，就是重复数        if(location->next[*word-'a']==NULL){return 0;}else {    location=location->next[*word-'a'];    word++;}}int count=0;TrieNode *now=location;    count=ncount(now, count);return count;}void Delete(TrieNode *location){    for(int i=0;i<MAX;i++){        if(location->next[i]!=NULL){            Delete(location->next[i]);        }    }    delete location;    }

void SInsert(TrieNode *root , char *word){//后缀树插入int length =strlen(word);for(int i=0;i<length;i++){char *a=word+i;        Insert(root, a);     }}int main(){    //初始化前缀树的根节点，注意这里结构体指针的初始化    TrieNode *root=new TrieNode();    root->isStr =false;    //前缀树中每一个节点的下一个节点，分配空间，注意memset的使用    memset(root->next,NULL,sizeof(root->next));    SInsert(root,"banananana");//后缀树插入    //Insert(root,"bcd");    //Insert(root,"xyz");    //Insert(root,"abcdef");    //if(qianzhuiSearch(root,"bcf"))//用来查找某个字符串s1是否在另外一个字符串s2    //    cout<<"exist"<<endl;    //else    //    cout<<"no exist"<<endl;int z=countqianzhuiSearch(root,"ban");cout<<z;    Delete(root);}

先说下广义后缀树，前面说了后缀树可以存储一个或多个字符串，当存储的字符串数量大于等于2时就叫做广义后缀树。

<3.两个字符串S1，S2的最长公共部分（广义后缀树）

建立一棵广义后缀树，如下图（5）

                                                                             （5）

$和#是为了区分字符串的。

（上面的程序不能实现这个代码，因为isStr是bool型，若想实现，改成int型即可，第一个字符串标识为1，第二个字符串标识为2等） 

我们为每个后缀串末尾单独添加一个空间存储区分字符串的符号。

那么怎么找s1和s2串最长的公共部分？

遍历每个后缀串，如果其引用计数为1则直接跳过，因为不可能有两个子串存放在这里，当引用计数>1时，往下遍历，直到分叉分别记录子串的符号，

如果不同，说明他们是不同字符串的，记录已经匹配的值即可，若相同继续下一次遍历。

上图的ana部分，到ana时，子串$结束，然后继续向下，子串anab以#结束，那么匹配了ana。

<4.最长回文串（广义后缀树）

把要求的最长回文串的字符串s1和它的反向（逆）字符串s2建立一棵广义后缀树。

回文串有一个定义就是正反相同，也就是正着和反着可以重和在一起，那么我们直接看这棵广义后缀树的共同前缀即可，每个banana的子串和ananab的子串重合的部分

都是回文串，我们只需要找到最长的即可。比如上面的anana，从后面不同的标记可以看出两个字符串的某个后缀都有这个前缀，能完美重合到一起。即它是回文串。

记录Max，每次找到一个回文串比较即可。