Tarjan算法（蒟蒻专用）

一个蒟蒻眼中的tarjan算法(C++)

一、初识tarjan

第一次听见tarjan这个算法，这什么鬼，读音就很奇怪，百度一查才知道是一位巨佬的名字，也发现这是一个图论算法，在同学和老师的帮助下，简单的了解了一下这个算法，感觉好强，是我这个渣渣学到现在最复杂的算法了吧。
tarjan算法，在我这个蒟蒻看来，是一个更加复杂的搜索，可以找出一个复杂的图里的强连通分量（那么有有人问了，强连通分量是啥啊。。。）所以先不要着急，我们来先了解一些tarjan算法有关的名词。

强连通分量

有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。（来源：百度百科）
是不是根本没看懂，画几个图就好了，我们就以最经典的图（我看见了一堆关于tarjan的文章，都拿这个做样例，我也凑个热闹，毕竟我第一次接触时也用的这个）为例。

图片中的1，2，3，4在一起叫一个强联通分量

二、了解tarjan的运行过程

这个真的是费了巨长的时间，后来才发现整个过程都在进行一项工作，就是维护DFN数组和LOW数组。DFN[u]代表u的搜索次序编号(就是发现u的时间戳)，LOW[u]表示的是u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号，那么我们从每一个细节开始演示tarjan的过程。

1.先去发现各个节点

和普通的搜索一样，就是从每一个未被发现的点开始进行搜索遍历，发现一个未被发现的点就直接把它进栈，然后接着更新该点的DFN值（你可能会问，那如果我发现了被发现过的点怎么办呢？？别急，看下面）

2.更新LOW值

在发现被发现过的点之后就要更新自己的LOW值，因为LOW对应的是最小的值，并且栈中的一定是被发现过的（如果这个点被发现现过，而且被出栈过并且现在不在栈中，就证明这个点也无法再次被更新了），所以说更新的便是被发现的点的DFN值和自己的LOW值中小的那一个，也就是说这个更新的条件就是这个点在栈中。

3.回溯中的更新与出栈

回溯时要完成两个操作，一个是更新栈中所有点的LOW值，就是非常简单的回溯时把自己的LOW更新成下一点和自己中较小的那一个LOW值。第二个便是出栈，出栈的时候没什么好说的，遇见自己的DFN值和LOW值相等的就直接出栈，因为它们和别人也没什么关系，没和其他任何点构成强连通分量。

三、代码实现

void tarjan(int x){    exist[x]=1;    DFN[x]=LOW[x]=++tot;    stack[++index]=x;    for(int i=0;i<G[x].size();i++)    {        int v=edge[G[x][i]].to;        if(DFN[v]==0)        {            tarjan(v);            LOW[x]=min(LOW[x],LOW[v]);        }        else if(exist[v]==1)//这个就是是否在栈中的意思        {            LOW[x]=min(LOW[x],DFN[v]);        }    }    if(DFN[x]==LOW[x])    {        int k=0,t;        color++;//强连通分量序号        do//出栈        {            t=stack[index];            stack[index]=0;            index--;            a[t]=color;//每个结点的强连通分量序号            exist[t]=0;            k++;        }while(x!=t);        sum[color]=k;//每个强连通分量中节点的个数    }}

例题选讲

poj3180

就是一个板子

#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<vector>#include<algorithm>using namespace std;struct apple{    int from,to;    apple(int u,int v):from(u),to(v){} };vector <apple> edge;vector <int> G[10005];int stack[10005],vist[10005];int DFN[10005],LOW[10005];int n,m,tot=0,ans=0,index=0;void Addedge(int x,int y){    int m;    edge.push_back(apple(x,y));    m=edge.size();    G[x].push_back(m-1);}int exist(int x){    for(int i=1;i<=index;i++)    {        if(stack[i]==x) return 1;    }    return 0;}void tarjan(int x){    DFN[x]=LOW[x]=++tot;    stack[++index]=x;    for(int i=0;i<G[x].size();i++)    {        int v=edge[G[x][i]].to;        if(DFN[v]==0)        {            tarjan(v);            LOW[x]=min(LOW[x],LOW[v]);        }        else if(exist(v)==1)        {            LOW[x]=min(LOW[x],DFN[v]);        }    }    if(DFN[x]==LOW[x])    {        int k=0,t;        do        {            t=stack[index];            stack[index]=0;            index--;            k++;        }while(x!=t);        if(k>=2) ans++;    }}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    int x,y;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        Addedge(x,y);    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(DFN[i]==0) tarjan(i);    }    printf("%d",ans);    return 0;}

poj2186

特别推荐的入门经典题目，就是简单的求完强连通分量之后建新图就OK了。（这个是我刚学的时候搞的，忽略那个exist函数，233333333）

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<vector>using namespace std;int n,m,index,tot,color=0;int stack[10005],DFN[10005],LOW[10005],a[10005],sum[10005];struct apple{    int from,to;    apple(int u,int v):from(u),to(v){}};vector<apple> edge;vector<apple> map;vector<int> G[10005];vector<int> P[10005];void Addedge(int u,int v){    int m;    edge.push_back(apple(u,v));    m=edge.size();    G[u].push_back(m-1);}void Addedge1(int u,int v){    int m;    map.push_back(apple(u,v));    m=map.size();    P[u].push_back(m-1);}int exist(int x){    for(int i=1;i<=index;i++)    {        if(stack[i]==x) return 1;    }    return 0;}void tarjan(int x){    DFN[x]=LOW[x]=++tot;    stack[++index]=x;    for(int i=0;i<G[x].size();i++)    {        int v=edge[G[x][i]].to;        if(DFN[v]==0)        {            tarjan(v);            LOW[x]=min(LOW[x],LOW[v]);        }        else if(exist(v)==1)        {            LOW[x]=min(LOW[x],DFN[v]);        }    }    if(DFN[x]==LOW[x])    {        int k=0,t;        color++;        do        {            t=stack[index];            stack[index]=0;            index--;            a[t]=color;            k++;        }while(x!=t);        sum[color]=k;    }}int main(){    int x,y,ans=0,cnt=0;    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        Addedge(x,y);    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(DFN[i]==0) tarjan(i);    }    for(int i=0;i<edge.size();i++)    {        if(a[edge[i].from]!=a[edge[i].to])        {            Addedge1(a[edge[i].from],a[edge[i].to]);        }    }    for(int i=1;i<=color;i++)    {        if(P[i].size()==0)        {            cnt++;            ans+=sum[i];        }    }    if(cnt==1) printf("%d",ans);    else printf("0");    return 0;}

poj3114

进阶神题一定要注意初始化。。。这道题的意义就是让你更熟练一些，所以说是进阶神题，具体思路和poj2186差不多，就是多了一个最短路而已。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<vector>#include<cstdlib>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;int n,e,k;int tot,index,color;int a[505],stack[505],DFN[505],LOW[505];int dist[505],que[500005],vist[505];struct apple{    int u,v,w;    apple(int from,int to,int x):u(from),v(to),w(x){}};vector<apple> edge;vector<apple> edge1;vector<int> G[505];vector<int> P[505];void Addedge(int x,int y,int z){    int m;    edge.push_back(apple(x,y,z));    m=edge.size();    G[x].push_back(m-1);    }void Addedge1(int x,int y,int z){    int m;    edge1.push_back(apple(x,y,z));    m=edge1.size();    P[x].push_back(m-1);    }int exist(int x){    for(int i=1;i<=index;i++)    {        if(stack[i]==x) return 1;    }    return 0;}void tarjan(int x){    DFN[x]=LOW[x]=++tot;    stack[++index]=x;    for(int i=0;i<G[x].size();i++)    {        int v=edge[G[x][i]].v;        if(DFN[v]==0)        {            tarjan(v);            LOW[x]=min(LOW[x],LOW[v]);        }        else if(exist(v)==1)        {            LOW[x]=min(LOW[x],DFN[v]);        }    }    if(DFN[x]==LOW[x])    {        int t;        color++;        do        {            t=stack[index];            stack[index]=0;            index--;            a[t]=color;        }while(t!=x);    }}const int inf=0x3f3f3f3f;void spfa(int s,int e){    memset(dist,inf,sizeof(dist));    memset(vist,0,sizeof(vist));    int x;    int head=0,tail=1;    dist[s]=0;que[1]=s;vist[s]=1;    while(head<tail)    {        head++;        x=que[head];        for(int i=0;i<P[x].size();i++)        {            if(dist[edge1[P[x][i]].v]>dist[x]+edge1[P[x][i]].w)            {                dist[edge1[P[x][i]].v]=dist[x]+edge1[P[x][i]].w;                if(vist[edge1[P[x][i]].v]==0)                {                    tail++;                    que[tail]=edge1[P[x][i]].v;                    vist[edge1[P[x][i]].v]=1;                }            }        }        vist[x]=0;    }    if(dist[e]!=inf) printf("%d\n",dist[e]);    else printf("Nao e possivel entregar a carta\n");}int main(){    scanf("%d%d",&n,&e);    while(n!=0)    {        edge.clear();edge1.clear();        memset(DFN,0,sizeof(DFN));        memset(LOW,0,sizeof(LOW));        memset(a,0,sizeof(a));        tot=index=color=0;        int x,y,z,o,d;        for(int i=1;i<=e;i++)        {            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);            Addedge(x,y,z);        }        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(DFN[i]==0) tarjan(i);        }        for(int i=0;i<edge.size();i++)        {            if(a[edge[i].u]!=a[edge[i].v])            {                Addedge1(a[edge[i].u],a[edge[i].v],edge[i].w);            }        }        scanf("%d",&k);        for(int i=1;i<=k;i++)        {            scanf("%d%d",&o,&d);            spfa(a[o],a[d]);        }        for(int i=1;i<=n;i++)        {            G[i].clear();        }        for(int i=1;i<=color;i++)        {            P[i].clear();        }        scanf("%d%d",&n,&e);        printf("\n");    }    return 0;}

读完这些，你的tarjan就算入门+进阶了，tarjan在以后的学习中也有重要的作用，例如求最近公共祖先，在LCT中的应用等。（喜欢的OIer加个关注哦！）