动态规划—01背包入门

01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

看到这个问题，可能会想到贪心算法，但是贪心其实是不对的。例如最少硬币找零问题，要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解，这样就不用重复解决子问题了。

动态规划先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小时怎么解决？用一个数组f[i][j]表示，在只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1），假设放进背包（前提是放得下），那么f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]。

这就得出了状态转移方程：

f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。

首先01背包题目的雏形是

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

当内循环是逆序时，就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的！

for(i = 1; i<=n; i++)    for(j = v; j>=c[i]; j--)//在这里，背包放入物品后，容量不断的减少，直到再也放不进了        f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]);

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1…V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0…V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

#include<iostream>  using namespace std;  #define  V 1500  unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0  unsigned int weight[10];  unsigned int value[10];  #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  int main()  {            int N,M;      cin>>N;//物品个数      cin>>M;//背包容量      for (int i=1;i<=N; i++)      {          cin>>weight[i]>>value[i];      }      for (int i=1; i<=N; i++)          for (int j=1; j<=M; j++)  //这里循环方式不同，也可用上面的代码        {              if (weight[i]<=j)              {                  f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);              }              else                  f[i][j]=f[i-1][j];          }            cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解    }  

还可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用其他子问题，因此在存储子问题的解时，只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决，一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。

再进一步思考，计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用f[i-1][j+1]这样的话，我们先计算j的循环时，让j=M……1，只使用一个一维数组即可。

for i=1……N

for j=M……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

#include<iostream>  using namespace std;  #define  V 1500  unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0  unsigned int weight[10];  unsigned int value[10];  #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)  int main()  {            int N,M;      cin>>N;//物品个数      cin>>M;//背包容量      for (int i=1;i<=N; i++)      {          cin>>weight[i]>>value[i];      }      for (int i=1; i<=N; i++)          for (int j=M; j>=1; j--)  //可以为（int j=m;j>=weight[i];j--）        {              if (weight[i]<=j)  //这个就可以直接省了            {                  f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);              }                     }            cout<<f[M]<<endl;//输出最优解    }  

看个例题：nyoj289 苹果