DP算法之—Longest Common Subsequence

最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的。

序列比对算法是生物信息学中经常使用的方法，而寻找两个序列的最长公共子序列也是其中的基础。除了暴力查找，动态规划是解决最长公共子序列的常用算法。

问题分析

假设Zk={z1,z2,⋯,zk}|是序列Xm={x1,x2,⋯,xm}和Yn={y1,y2,⋯,yn}的最长公共子序列。那么其中可能存在的子问题有三个：
1. zk=xm=yn，则Zk−1是Xm−1和Yn−1的最长公共子序列
2. zk≠xm,xm≠yn则Zk是Xm−1和Yn的最长公共子序列
3. zk≠yn,xm≠yn则Zk是Xm和Yn−1的最长公共子序列
由以上分析（三点均可用反证法证明），可以得到问题的递推公示：
设c[i][j]表示序列Xi和Yi的最长公共子序列的长度，则有：

c[i][j]=⎧⎩⎨⎪⎪0c[i−1][j−1]+1max{c[i][j−1],c[i−1][j]}i=0或j=0i,j>0且xi=yi.i,j>0且xi≠yi.

程序实现

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define NUM 1000using namespace std;int c[NUM][NUM];int b[NUM][NUM];void LCSLength(int m,int n,char x[],char y[]);void LCS(int m,int n,char x[]);int main(int argc, char *argv[]) {    char x[NUM];    char y[NUM];    int m, n;    scanf("%d\n", &m);    for (int i=1; i<=m; i++)        scanf("%c", &x[i]);    scanf("%d\n", &n);    for (int i=1; i<=n; i++)        scanf("%c", &y[i]);    LCSLength(m, n, x, y);    printf("%d\n", c[m][n]);    LCS(m,n,x);    return 0;}void LCSLength(int m,int n,char x[],char y[]){    int i,j;    for(i = 1; i <= m; i++)        c[i][0] = 0;    for(j = 1; j <= n; j++)        c[0][j] = 0;    for(i = 1; i <= m; i++) {        for(j = 1; j <= n; j++) {            if(x[i] == y[j]) {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                b[i][j] = 1;            }            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) {                c[i][j] = c[i-1][j];                b[i][j] = 3;            }            else {                c[i][j] = c[i][j-1];                b[i][j] = 2;            }        }    }}void LCS(int i,int j,char x[]) {    if(i == 0 || j == 0)        return;    if(b[i][j] == 1) {        LCS(i-1,j-1,x);        cout << x[i];    }    else if(b[i][j] == 2)        LCS(i,j-1,x);    else        LCS(i-1,j,x);}