莫比乌斯反演知识点及其理解
来源:互联网 发布:软件著作权加急官费 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 17:56
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莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位,许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。
两种常用形式:
定理:和是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件,那么我们得到结论
在上面的公式中有一个函数,它的定义如下:
(1)若,那么
(2)若,均为互异素数,那么
(3)其它情况下
对于函数,它有如下的常见性质:
(1)对任意正整数有
(2)对任意正整数有
线性筛选求莫比乌斯反演函数代码。
有了上面的知识,现在我们来证明莫比乌斯反演定理。
证明
证明完毕!
嗯,有了莫比乌斯反演,很多问题都可以简化了,接下来我们来看看莫比乌斯反演在数论中如何简化运算的。
题目:http://bz.cdqzoi.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818
题意:给一个正整数,其中,求使得为质数的的个数,。
分析:对于本题,因为是使得为质数,所以必然要枚举小于等于的质数,那么对于每一个质数,只
需要求在区间中,满足有序对互质的对数。
也就是说,现在问题转化为:在区间中,存在多少个有序对使得互质,这个问题就简单啦,因为
是有序对,不妨设,那么我们如果枚举每一个,小于有多少个与互素,这正是欧拉函数。所以
我们可以递推法求欧拉函数,将得到的答案乘以2即可,但是这里乘以2后还有漏计算了的,那么有哪些呢?
是且为素数的情况,再加上就行了。
代码:
嗯,上题不算太难,普通的欧拉函数就可以搞定,接下来我们来看看它的升级版。
题意:给定两个数和,其中,,求为质数的有多少对?其中和的范
围是。
分析:本题与上题不同的是和不一定相同。在这里我们用莫比乌斯反演来解决,文章开头也说了它能大大简化
运算。我们知道莫比乌斯反演的一般描述为:
其实它还有另一种描述,本题也是用到这种。那就是:
好了,到了这里,我们开始进入正题。。。
对于本题,我们设
为满足且和的的对数
为满足且和的的对数
那么,很显然,反演后得到
因为题目要求是为质数,那么我们枚举每一个质数,然后得到
如果直接这样做肯定TLE,那么我们必须优化。
我们设,那么继续得到。
到了这里,可以看出如果我们可以先预处理出所有的对应的的值,那么本题就解决了。
我们设,注意这里为素数,。
那么,我们枚举每一个,得到,现在分情况讨论:
(1)如果整除,那么得到
(2)如果不整除,那么得到
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