莫比乌斯反演及其应用-小结

莫比乌斯反演的形式：

另一种描述是：

一种是和所有的约数有关一种是和所有的倍数有关

关于莫比乌斯函数mu，他的定义如下：

这个莫比乌斯函数有一些性质：

（1）

（2）

-----------------------分块优化----------------------

如果最后反演得到的f(x)大致为 

f(x)=sigma(     n/i * m/i  *xxxx    )

则可以分块优化把复杂度降到sqrt(n)

范例代码：

//找[1,n],[1,m]内互质的数的对数，分块优化ll solve(ll n,ll m ){    if (n>m)swap(n,m);    ll ret=0;    for (int i=1,last;i<=n;i=last+1)    {        last=min(n/(n/i),m/(m/i));        ret+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);    }    return ret;}

其中sum为mu的前缀和

莫比乌斯函数 线性筛代码：o(n)

const int  N=50000;bool is_prime[N+500];int prime[N+50];int mu[N+50];ll sum[N+50];ll tot;void Moblus(){    tot = 0;    mu[1] = 1;    for(ll i = 2; i < N; i++)    {        if(!is_prime[i])        {            prime[tot++] = i;            mu[i] = -1;        }        for(ll j = 0; j < tot && i*prime[j] < N; j++)        {            is_prime[i*prime[j]] = 1;            if(i % prime[j])            {                mu[i*prime[j]] = -mu[i];            }            else            {                mu[i*prime[j]] = 0;                break;            }        }    }}

nlogn 筛法 （因子倍增法）：

void pre()  // nlogn+n+nlogn{    for (int i=1; i<=N; i++)        for (ll j=i ; j<=N; j+=i)            ud[j].x+=i; }

预处理：

通常求这部分的时候，由于我们是枚举D，不可能在枚举某个d时去找所有约数求值，

往往 是先预处理，遍历所有的i=1：n，利用因子倍增法预处理出所有的F（i）*u(d/i)。