01背包简介

背包问题

背包问题是指在一个有容积限制（或者重量限制）的背包中放入物品，物品拥有体积、重量和价值等属性。需要求一种满足背包限制的放置物品的方式，使得背包中物品的价值之和最大。根据物品的限制条件可分为01背包、完全背包、多重背包和分组背包等问题。背包问题是动态规划的经典问题之一，在实际中往往有很多变形，需要通过一些方法，把问题转化为背包问题。

01背包

01背包是背包问题中最简单的问题。
01背包的约束条件是：给定几种物品，每种物品有且仅有一个，并且有权值和体积两个属性。在01背包问题中，因为每种物品仅有一个，对于每种物品只需要考虑选与不选两种情况。如果不选择将该物品放入背包中，则不需要处理。如果选择该物品放入背包中，由于并不清楚之前放入的物品占据了多大的空间，需要枚举将这个物品放入背包后可能占据背包空间的所有情况。

基本递推式：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-v[i]] + w[i])//表示前i个物品在最大体积为j的情况下的最大价值

for (int i = 1; i <= n; i++)    {        //只有当j >= v[i],dp[i][j]才能进行选取最大值        for (int j = maxv; j >= v[i]; j--)        {            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);        }        //当j < v[i]，说明第i个物品是不能转入背包的，故dp[i][j] = dp[i-1][j]        for (int j = v[i] - 1; j >= 0; j--)            dp[i][j] = dp[i - 1][j];    }

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由于当前状态仅依赖前一状态的剩余体积与当前物品体积v[i]的关系,根据这个特点，我们可以将dp降到一维,节省部分空间:

dp[j] = max{dp[j]，dp[j-v[i]]+w[i]}

for (int i = 1; i <= n; i++)    {        //只有当j >= v[i],dp[j]才能进行选取最大值,否则dp[j]将不作更新，等于dp[i-1][j]。        for (int j = maxv; j >= v[i]; j--)        {            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);        }    }

例题：HDU 2602

题目大意：有一个骨头收集者，有一个背包容量有限制。现在在一趟旅行中收集骨头，骨头有价值和体积两个属性。求能收集到的总和的最大值。

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01背包问题，可以感觉这类问题在生活中很常见而且很有用

定义数组dp[] 表示 考虑当前物品时与之前物品共占用容积为j能获得的最大值,这样dp[v]即为所求

数组w[]和c[]分别记录骨头的价值和占用体积。

代码示例

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn=1005;int dp[maxn];int w[maxn];int c[maxn];int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    int t,n,m,v;    cin>>t;    while(t--){        cin>>n>>v;        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i=0;i<n;++i) cin>>w[i];        for(int i=0;i<n;++i) cin>>c[i];        for(int i=0;i<n;++i){            for(int j=v;j>=c[i];j--){                dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);            }        }        cout<<dp[v]<<endl;     }    return 0;}