树状数组（一维）

今天学习了一天的树状数组，感觉有点小懂，但是理解还不够透彻，大致现在博客上写写心得，下回不会再回过头来看，，，，ORZ

先讲讲一维的树状数组：·

以下有引用到大牛博客：http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868

还有一个大牛博客：http://blog.csdn.net/matrix_reloaded/article/details/32101509

一维树状数组解决的大致问题就是：修改某点的值、求某个区间的和，，

引用大牛的一段话：

树状数组是干什么的？
平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比较常见的如，修改某点的值、求某个区间的和，而这两种恰恰是树状数组的强项！当然，数据规模不大的时候，对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)，别小看这个lg，很大的数一lg就很小了，这个学过数学的都知道吧，不需要我说了。申明一下，看下面的文章一定不要急，只需要看懂每一步最后自然就懂了。

二、树状数组怎么干的？
先看两幅图（网上找的，如果雷同，不要大惊小怪～），下面的说明都是基于这两幅图的，左边的叫A图吧，右边的叫B图：

树状数组就是构造这样的树状数组，这里需要注意的是，c数组并不代表数组的和，比如c【8】=a【1】+…….+a【8】,但是c【7】=a【7】,

引用大牛的话：

是不是很像一颗树？对，这就是为什么叫树状数组了～先看A图，a数组就是我们要维护和查询的数组，但是其实我们整个过程中根本用不到a数组，你可以把它当作一个摆设！c数组才是我们全程关心和操纵的重心。先由图来看看c数组的规则，其中c8 = c4+c6+c7+a8，c6 = c5+a6……先不必纠结怎么做到的，我们只要知道c数组的大致规则即可，很容易知道c8表示a1～a8的和，但是c6却是表示a5～a6的和，为什么会产生这样的区别的呢？或者说发明她的人为什么这样区别对待呢？答案是，这样会使操作更简单！看到这相信有些人就有些感觉了，为什么复杂度被lg了呢？可以看到，c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和，而其中左半边和是确定的c4，右半边其实也是同样的规则把a5～a8一分为二……继续下去都是一分为二直到不能分，可以看看B图。怎么样？是不是有点二分的味道了？对，说白了树状数组就是巧妙的利用了二分，她并不神秘，关键是她的巧妙！

此时我们就是写出更新维护树的代码：

void add(int k,int num)  //num就代表点k加上num值{      while(k<=n)  //n就是数组a长度    {          tree[k]+=num;  //tree数组就相当于c数组        k+=k&-k;      }  }  

有了上面的基础，说求和就比较简单了。比如求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]，分析方法与上面的恰好逆过来，而且写法也是逆过来的，具体就不累述了：

int read(int k)//1~k的区间和  {      int sum=0;      while(k)      {          sum+=tree[k];          k-=k&-k;      }      return sum;  }  

一维数组例题：POJ - 2352

题解：

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cstdio>#include <vector>#include <set>#include <map>#include <string>#include <cstring>using namespace std;int c[32000+10],ans[32000+10];void read(int x,int num){    while(x<=32001)    {        c[x]+=num;        x+=x&-x;    }}int sum(int x)//前x坐标的星星数量{    int ans=0;    while(x)    {        ans+=c[x];        x-=x&-x;    }    return ans;}int main(){    int n;    //cin>>n;    scanf("%d",&n);    memset(c,0,sizeof(c));    memset(ans,0,sizeof(ans));    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int x,y;        //cin>>x>>y;        scanf("%d%d",&x,&y);        ++ans[sum(x+1)];        read(x+1,1);    }    for(int i=0;i<n;i++)        //cout<<ans[i]<<endl;        printf("%d\n",ans[i]);    return 0;}

例题2：UVA-1513

这题的题意就是给你n个数，1-n，然后每次问一个数K的前面有多少个数，然后把k放到第一个数的位置，

思路就是树状数组，可以把数组前面留出一些部分给后面的数过来时用，然后当一个数到第一个数位置的时候，它原来前面的数要加一个数，比如1 2 3 4 5，把3放到第一个数，然后3后面的部分4，5减一，然后3放到第一个数时，把3后面的数都加一，这样就能实现1 2加一，4 5不变了，，至于某个数前面有多少个数，自然就是求和就行，套用树状数组模板就行

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cstdio>#include <vector>#include <set>#include <map>#include <string>#include <cstring>using namespace std;int c[200000+10],pos[200000+10];void read(int x,int num){    while(x<200000+1)    {        c[x]+=num;        x+=x&-x;    }}int sum(int x){    int ans=0;    while(x)    {        ans+=c[x];        x-=x&-x;    }    return ans;}int main(){    int t;    cin>>t;    while(t--)    {        int n,m;        cin>>n>>m;        int det=100000;        memset(c,0,sizeof(c));        memset(pos,0,sizeof(pos));        for(int i=1; i<=n; i++)        {            pos[i]=det+i;            read(det+i,1);        }        for(int i=1; i<=m; i++)        {              int x;              //cin>>x;              scanf("%d",&x);              if(i!=1)              printf(" ");              printf("%d",sum(pos[x]-1));              read(pos[x],-1);              pos[x]=det;              det--;              read(pos[x],1);              //cout<<endl;              //cout<<"c[pos[x]]="<<c[pos[x]]<<endl;              //cout<<"sum(1)="<<sum(1)<<endl;        }        printf("\n");    }    return 0;}

补充一个题：

今天写java的时候水的一个树状数组，真傻逼，变量没有初始化，wa到绝望，可能是不怎么写树状数组有点事手生

题目就是求矩阵每一行的逆序对，输出逆序对最多的那一行的编号。

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>#include <set>#include <map>#include <stack>#include <vector>#include <queue>#define ri(n) scanf("%d",&n)#define oi(n) printf("%d\n",n)#define rl(n) scanf("%lld",&n)#define ol(n) printf("%lld\n",n)#define rep(i,l,r) for(i=l;i<=r;i++)#define rep1(i,l,r) for(i=l;i<r;i++)using namespace std;typedef long long ll;const int inf=0x3f3f3f3f;const int epg=10-8;int a[10000+10];int c[10000+10];void add(int x){    while(x<10000+10)    {        c[x]++;        x+=x&-x;    }}int sum(int x){    int ans=0;    while(x)    {        ans+=c[x];        x-=x&-x;    }    return ans;}int main(){    int n,k;    scanf("%d%d",&n,&k);    int ans=0,max_=0,flag=1;    for(int i=1;i<=k;i++)    {        memset(c,0,sizeof(c));        ans=0;        for(int j=1;j<=n;j++)        {            scanf("%d",&a[j]);            add(a[j]);            ans+=j-sum(a[j]);        }        if(ans>max_)        {            max_=ans;            flag=i;        }    }    printf("%d\n",flag);    return 0;}