POJ 1160 普通区间DP||四边形优化DP

题意

N个点修M个邮局，要求修建邮局最优，使得其他点到最近邮局的距离之和最小，问这个最小值是多少。

题解

这道题由于数据范围比较水，所以普通区间DP也可以70MS轻松过。不过这道题使用四边形优化的话会有更优秀的性能，可以使时间降到40MS。
首先的话，需要求出任意两点之间修一个邮局，其他点到这个邮局的距离之和。这里面涉及到一个式子，dis[i][j]=dis[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)/2]。这个式子从表面上来看是很神奇的，但是代入几个值进去的话，就会发现这个式子是完全正确的，确实很神奇。想一想的话，也勉强可以解释的通。比如说现在在4号点，然后这时候可以选择2号点或3号点为中点，因为点的个数为偶数个，这两个点作为中点效果其实是一样的。假设选择了2号点。下一步在5号点，这时候就必须要选择3号点了，由于上一次2号点和3号点效果相同，所以可以直接用上一次的结果，dis[i][j-1]。下一步在6号点，6号点可以选择3号点和4号点作为中点，这两个点效果一样，由于上一步选择了三号点，因此这一步也可以假设选择了3号点，因此便可以使用上一步的计算结果。如此循环，便可以理解上述递推式为什么是成立的。
然后的话，便可以进行普通的区间DP了，dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i-1]+dis[k+1][j])这里dp[j][i]代表前j个点选择了i个点作为邮局。最后dp[n][q]即为所求。

四边形优化

可以发现上述式子时间复杂度是O(N^3)，但是对于数据量比较大的情况，这种复杂度表现是很差的。于是便有神牛发明了四边形不等式算法，具体内容见下图。

对于这道题来说，满足区间包含关系单调是很容易就能看出来的，至于四边形不等式，神牛说一眼就能看出来，反正我是没看出来。我的方法是打表，搞几个样例，打一下四边形不等式的表，如果表里的数据都符合四边形不等式，那么可以基本认为状态转移方程符合四边形不等式。
既然符合四边形不等式，便可以进行进一步优化，据说这种优化可以使时间复杂度变为O(N^2)，尽管是三层循环。优化方案很简单，s[j][i-1]<=k<=s[j+1][i]+1。针对每次状态转移，选择的k一定是在这个范围内的，所以便可以大幅度缩减k的选择时间。至于s[j][i]需要注意一些初始化和dp顺序上的问题，由于需要用到j+1所以有个j，即前n个邮局的循环需要倒序循环。
关于初始化的话，需要对s[j][0]也就是选择了一个邮局的情况进行初始化，以及s[v][i]，默认初始化为N。实际上这个初始化值的意义在于在进行DP的时候，保证邮局允许从0到N-1之间选择，这样选择出来的结果才是最优的结果。

代码

普通DP

#include <iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<vector>#include<cmath>#include<queue>#include<string>#include<set>#include<map>#include<bitset>#include<stack>#include<string>#define UP(i,l,h) for(int i=l;i<h;i++)#define DOWN(i,h,l) for(int i=h-1;i>=l;i--)#define W(a) while(a)#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define LL long long#define INF 0x3f3f3f3f#define MAXN 800010#define MOD 1000000009#define EPS 1e-10using namespace std;int dp[310][35],dis[310][310],x[310];int main() {    int v,p;    W(~scanf("%d%d",&v,&p)) {        MEM(dis,0);        UP(i,0,v) {            scanf("%d%",&x[i]) ;        }        UP(i,0,v){            UP(j,i+1,v){                dis[i][j]=dis[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)/2];            }        }        MEM(dp,INF);        UP(i,0,v){            dp[i][0]=dis[0][i];        }        UP(i,1,p){            UP(j,0,v){                UP(k,0,j){                    dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i-1]+dis[k+1][j]);                }            }        }        printf("%d\n",dp[v-1][p-1]);    }}

四边形优化

#include <iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<vector>#include<cmath>#include<queue>#include<string>#include<set>#include<map>#include<bitset>#include<stack>#include<string>#define UP(i,l,h) for(int i=l;i<h;i++)#define DOWN(i,h,l) for(int i=h-1;i>=l;i--)#define W(a) while(a)#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define LL long long#define INF 0x3f3f3f3f#define MAXN 800010#define MOD 1000000009#define EPS 1e-10using namespace std;int dp[310][35],dis[310][310],x[310],s[310][310];int main() {    int v,p;    W(~scanf("%d%d",&v,&p)) {        MEM(dis,0);        UP(i,0,v) {            scanf("%d%",&x[i]) ;        }        UP(i,0,v){            UP(j,i+1,v){                dis[i][j]=dis[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)/2];            }        }        MEM(dp,INF);        UP(i,0,v){            dp[i][0]=dis[0][i];            s[i][0]=0;        }        UP(i,1,p){            s[v][i]=v-1;            DOWN(j,v,0){                UP(k,s[j][i-1],s[j+1][i]+1){                    if(dp[k][i-1]+dis[k+1][j]<dp[j][i]){                        s[j][i]=k;                    }                    dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i-1]+dis[k+1][j]);                }            }        }        printf("%d\n",dp[v-1][p-1]);    }}