[DP] [组合数学] [BZOJ4807] 車

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蛤蛤蛤蛤……高三真是狗……
（别问我开学第一周怎么度过的我不想说……）
看到题目首先想到一个DP，dp[i][j]表示放在第i行第j列的可行方案数，于是就有如下转移辣：

dp[i][j]=∑k=j+1mdp[i−1][k]    i∈[2,n],j∈[1,m]

答案就是：

ans=∑i=1mdp[n][i]

初状态是：

dp[1][i]=1    i∈[1,m]

应该比较好理解吧……車不能与其他車放置在同行和同列，还必须要求每个車的左上不能有其他車。
不过棋盘的放置是不确定的，可以n作为行也可以m作为行，所以把n和m反过来再DP一遍。发现有时候n作为行无解有时候m作为行无解，有解时n<m，所以DP一遍就好了。
这样随便一个O(nm2)的DP就出来了，可是……过不去……
那么找找优化方法，注意到第二行的DP类似于对第一行做了个前缀和，每一行与前一行都错开一位做前缀和处理，所以那个DP式子中代价O(m)的求和就可以优化一下……
列个表看一下，其实DP方程就被优化成了这样：

dp[i][j]=dp[i][j+1]+dp[i−1][j+1]    i∈[2,n],j∈[1,m]

如果学过选修2-3，就会看出这和组合数很类似啊……

(n+1m)=(nm)+(nm−1)

具体证明……这个数学老师应该讲了吧……（我忘了……）
这个DP时间复杂度是O(nm)的，不过打一下表，发现这就是把杨辉三角顺时针旋转了90∘，要求的值，即最后一行的和，其实就是杨辉三角中一列的和，要求的答案在杨辉三角中可以表示为：

ans=∑i=1m−1(n−1i)

这个求和还是数学课上讲过……可以化简为(nm)……
所以优化了一堆，就是求个组合数咯……输出最后50位……
至于n<m，将DP数组转置的时候自然是m<n，所以有m>n的情况只需把棋盘转一下，转成合法情况放置再转回去，就是对应的合法情况咯……
有意思的题……
时间复杂度O(nlog2log2n+50nlog2n)？xbb别当真……
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