【数学基础】【欧拉函数解析模板】【欧拉筛法实现求1~n】【求单个n】

 

先明确欧拉函数：计算任意给定的正整数n，在小于等于n的正整数中和n构成互质关系的正整数个数，比如φ(8) = 4,因为1,3,5,7都与8互质

性质1：n=1时，φ(1) = 1；

性质2：如果n是质数，那么φ(n) = n-1，因为质数与小于它的每一个数都构成质数关系

性质3：如果 n = p^k（p为质数，k>=1）,则满足以下公式，比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。当一个数不包含质数p，才可能与n互质，而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

第二种情况可以看成k=1的特解。

性质4：如果n可以分解成两个互质整数的乘积，n = p1 × p2，则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)，比如φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24

 

性质5：由可以得到

 

推论：对于互质的数p、n，满足p^(φ(n)+1) ≡ p (mod n)

 欧拉公式的延伸：小于n 与n互质的数的和 是euler(n)*n/2

求某个数字n的欧拉函数值：时间复杂度O（n*n）

 

 

int getphi(int n){int i,ans;ans = m = n;for(i = 2; i*i <= m; i ++){if(n%i == 0)//找到素因子{ans = ans/i*(i-1);//性质5的应用while(n%i == 0)//约去所有素因子n/=i;}}if(n > 1)ans = ans/n*(n-1);return ans;}

 

 

 欧拉筛法求1~n的欧拉函数值：时间复杂度O（n）

void euler(){ans = 0;memset(book,0,sizeof(book));p[1] = 1;int i,j;for(i = 2; i <= n; i ++){if(!book[i]){prime[ans++] = i;p[i] = i-1;//性质2的应用 }for(j = 0; j < ans&&i*prime[j] < n; j ++){book[i*prime[j]] = 1;if(i%prime[j] == 0)//如果i和它的最小质数构成互质关系 {p[i*prime[j]] = p[i]*p[prime[j]];//性质4和性质5的应用 break;}elsep[i*prime[j]] = p[i]*(p[prime[j]]-1);//性质2和性质4的应用 }}return;}