八皇后问题详细解法

问题描述：

在8×8的棋盘上，放置8个皇后（棋子），使两两之间互不攻击。所谓互不攻击是说任何两个皇后都要满足：

（1）不在棋盘的同一行；

（2）不在棋盘的同一列；

（3）不在棋盘的同一对角线上。

求：这8个皇后中的每一个应该摆放在哪一列。

算法分析：

数组Column、Down、Up分别用来标记冲突，Column数组代表列冲突，从Column[1]~Column[8]代表第1列到第8列，如果某列上已经有皇后，则为1，否则为0；

　　数组Down代表主对角线冲突，为Down[i-j+7]（行号-列号+7），主对角线共有15条，即从b[0]~b[14]，如果某条主对角线上已经有皇后，则为1，否则为0；

　　数组Up代表从对角线冲突，为Up[i+j]（行号加列号），从对角线也有15条，即从c[0]~c[14]，如果某条从对角线上已经有皇后，则为1，否则为0；

其中主对角线中行i和列j相减的规律如下图所示：

从图中可以看出，每条主对角线上的值相同且相互之间不重复，因此可以将其看成一个标志进行判断。同理，观察次对角线中行i和列j中的值，他们相加的规律如下图所示：

利用这一规律判断对角线的情况。

1）需要在棋盘的( i, j ) 位置摆放一个皇后的时候，可以通过Column数组、Down数组和Up数组的相应元素，来判断该位置是否安全；

2）当已经在棋盘的( i, j ) 位置摆放了一个皇后以后，就应该去修改Column数组、Down数组和Up数组的相应元素，把相应的列和对角线设置为不安全。

3）最后根据递归回溯的方法来实现本问题的目标。

实现函数如下：

int Queen[9]={0};//第i行皇后所在的列；int Column[9]={0};//第j列是否安全，{0, 1}int Down[15]={0};  //记录每一条从上到下的对角线，是否安全，{0,1}int Up[15]={0};//记录每一条从下到上的对角角线，是否安全，{0,1}int num=0;//记录解的个数void TryQueen(int i)// 摆放第 i 行的皇后{if(i<9){for(int j=1;j<9;j++)// 尝试把该皇后放在每一列{if(Column[j]||Down[i-j+7]||Up[i+j-2])continue; // 失败Queen[i]=j;// 把该皇后放在第j列上Column[j]=1;Down[i-j+7]=1;Up[i+j-2]=1;if(i==8)  // 已找到一种解决方案{num++;for(int k=1;k<9;k++)cout<<setw(3)<<Queen[k];cout<<endl;}elseTryQueen(i+1);    // 摆放第i+1行的皇后Queen[i]=0;           // 回溯，把该皇后从第j列拿起Column[j]=0;Down[i-j+7]=0;Up[i+j-2]=0;}}}