HDU 6158 计算几何 笛卡尔定理 + 韦达定理

题目链接

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感谢ICPCCamp的题解，链接送上：CCPC 2017网络赛题解

题解已经讲得非常清楚了，补充一点细节吧。

(1).关于笛卡尔定理

对于此题，只需要了解这么一个性质：（来自wiki 用的谷歌翻译，若有偏差还请指出~）

定义一个圆的曲率k=±1r，其中r是其半径。
若平面有两两相切，且有6个独立切点的四个圆，设其曲率为k1,k2,k3,k4（若该圆与其他圆均外切，则曲率取正，否则取负）则其满足性质：

(k1+k2+k3+k4)2=2(k21+k22+k23+k24)

(2).关于韦达定理
对于此题，第一个与已知圆相切的圆的半径非常好求，其半径r3=(r1−r2)，其中r1是已知圆中较大圆的半径。

故我们现在k1,k2,k3均为已知，代入上面笛卡尔定理的式子便能求解出k4。
易发现这是一个关于k4的二次方程，化简为标准形式为：

k24−2(k1+k2+k3)k4+(k1+k2+k3)2−2(k21+k22+k23)=0

直接求解是挺困难的，设两个解是x1,x2，利用韦达定理：

x1+x2=2(k1+k2+k3)

因为k4所代表的圆与前三个圆均相切，对于此题，x1,x2就是k3所代表圆左右两个圆的曲率。

对于题目给的图：
若k3代表圆1，则x1,x2分别代表圆2和圆3
若k3代表圆2，则x1,x2分别代表圆1和圆4

这样我们就可以类似迭代的方式，不断往后递推求解。

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另外小心精度和时间的问题。
因为N越大，其后面的圆的面积对于答案的贡献几乎可以忽略不计，这时要及时退出循环，避免超时。

亲测，当eps取(1e-13)时跑得最快。

218msAC
代码：

#include<cmath>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const double eps = 1e-13;const double PI = acos(-1.0);int main(){    int T;scanf("%d",&T);    while(T--){        int r1,r2,n;        scanf("%d%d%d",&r1,&r2,&n);        if(r1 < r2) swap(r1,r2);        double k1 = -1.0/r1,k2 = 1.0/r2,k3 = 1.0/(r1-r2);        double k4 = k1 + k2 + k3;        double ans = (r1-r2)*(r1-r2);        n--;        for(int i=1 ;i<=n ;i+=2){            double r4 = 1.0/k4;            if(r4*r4 < eps) break;            ans += r4*r4;if(i+1<=n) ans += r4*r4;            double k5 = 2*(k1+k2+k4) - k3;            k3 = k4;k4 = k5;        }        printf("%.5f\n",ans*PI);    }    return 0;}