hdu 6158 The Designer && 计蒜客 Finding the Radius for an Inserted Circle 笛卡尔定理应用

HDU6158
题意 :

有两个圆相内切，在两个圆之间添加n个圆使得其与相邻的圆都相切，添加的顺序如图，求n个圆的总面积。
思路:

这是一道典型的笛卡尔定理应用,我们先来介绍一下笛卡尔定理

笛卡尔定理

定义：

若平面上四个半径为r1、r2、r3、r4的圆两两相切于不同点，则其半径满足以下结论：
（1）若四圆两两外切，则(∑4i=11ri)2 =2∗∑4i=11r2i
（2）若半径为r1、r2、r3的圆内切于半径为r4的圆中，则
(1r1+1r2+1r3−1r4)2=2∗∑4i=11r2i

韦达定理
x1+x2=−ba
x1∗x2=ca

在该题中我们已知四个相切圆中三个的半径，即r1,r2,r1−r2，因为圆的曲率k=1r，那么我们根据题意可以将笛卡尔定理转化为(k1+k2+k3+k4)2=2∗(k21+k22+k23+k24)，其中
k1=−1r1，k2=1r2，k3=1r3，k4为未知圆r4的曲率，
化简可得：
k24−2∗(k1+k2+k3)∗k4−(k1+k+2+k3)2+2∗(k21+k22+k23)=0，
根据韦达定理，可得x1+x2=2∗(k1+k2+k3)。
这里写图片描述
Finding the Radius for an Inserted Circle