素数筛法
来源:互联网 发布:泳衣品牌 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 05:13
素数筛法
基本概念:
质数(prime number)又称素数,有无限个。质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数,这样的数称为质数。
而在ACM比赛当中经常遇到需要使用大量既定的素数,或者判定素数,或者应用于唯一分解定理当中。
介绍与证明:
厄拉多塞是一位古希腊数学家,他在寻找素数时,采用了一种与众不同的方法:先将2-N的各数放入表中,然后在2的上面画一个圆圈,然后划去2的其他倍数;第一个既未画圈又没有被划去的数是3,将它画圈,再划去3的其他倍数;现在既未画圈又没有被划去的第一个数是5,将它画圈,并划去5的其他倍数……依次类推,一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时,表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N的素数。
这很像一面筛子,把满足条件的数留下来,把不满足条件的数筛掉。由于这种方法是厄拉多塞首先发明的,所以,后人就把这种方法称作厄拉多塞筛法。
在计算机中,筛法可以用给数组单元置零的方法来实现。具体来说就是:首先开一个数组:a[i],i=1,2,3,…,同时,令所有的数组元素都等于下标值,即a[i]=i,当i不是素数时,令a[i]=0。当输出结果时,只要判断a[i]是否等于零即可,如果a[i]=0,则令i=i+1,检查下一个a[i]。
筛法是计算机程序设计中常用的算法之一。
算法实现:
如果要是按照一个一个判断是否是素数,时间复杂度为O(n√n),对于10^6的数据时间复杂度就是O(10^9),必定会TLE,但此时“筛法”的时间复杂度只有O(nloglogn)。(埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛法”,简称“筛法”)
(1)最初的筛法:
可输入实现版:
#include<iostream>#include<cmath>#include<cstring>using namespace std;#define maxn 100005int prime[maxn]; //第i个素数bool isprime[maxn+10];int n;int main(){ while(cin>>n) { int p=0; memset(isprime,1,sizeof(isprime)); isprime[0]=isprime[1]=0; for(int i=2; i<=n; i++) { if(isprime[i]) { prime[++p]=i; for(int j=2*i; j<=n; j+=i) //待优化 isprime[j]=0; } } for(int i=0; i<=n; i++) cout<<isprime[i]; cout<<endl; } return 0;}
int p=0; memset(isprime,1,sizeof(isprime)); isprime[0]=isprime[1]=0; for(int i=2; i<=n; i++) { if(isprime[i]) { prime[++p]=i; for(int j=2*i; j<=n; j+=i) //待优化 isprime[j]=0; } }
手动地模拟原始筛法就可以发现,某个数字可能被不止一次地删去,我们可以进一步优化,去除不必要的重复。
(2)优化后的筛法:
可输入实现版:
#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;#define maxn 100005 int n; bool isprime[maxn]; int prime[maxn]; //第i个素数int main(){ while(cin>>n) { int p=0; isprime[0]=isprime[1]=0; isprime[2]=1; for(int i=3; i<=n; i++) //先排偶 isprime[i]=i%2==0?0:1; int tmp=(int)sqrt(n+0.5); for(int i=0; i<=tmp; i++) if(isprime[i]) { prime[++p]=i; for(int j=i*i; j<n; j+=2*i) //已优化 isprime[j]=0; } for(int i=0; i<=n; i++) cout<<isprime[i]; cout<<endl; } return 0;}
核心代码段:
int p=0; isprime[0]=isprime[1]=0; isprime[2]=1; for(int i=3; i<=n; i++) //先排偶 isprime[i]=i%2==0?0:1; int tmp=(int)sqrt(n+0.5); for(int i=0; i<=tmp; i++) if(isprime[i]) { prime[++p]=i; for(int j=i*i; j<n; j+=2*i) //已优化 isprime[j]=0; }
* 还有其他类型的筛法,比如说二次筛法,数域筛法等,这里就不提及了。
推荐习题: HDU2012 、 HDU3792
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